Zadanie 17 – matura z matematyki maj 2002, poziom rozszerzony

Zbiór rozwiązań: \(\left\{\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{6},\frac{3\pi}{2}\right\}\). Szukane prawdopodobieństwo jest równe \(\frac{5}{6}\).

Dziedzina: \(\sin x\neq0\), więc \(x\in[0,2\pi]\setminus\{0,\pi,2\pi\}\). Zapisujemy \(\sin2x=2\sin x\cos x\) i \(\operatorname{ctg}x=\dfrac{\cos x}{\sin x}\), a następnie mnożymy obie strony przez \(\sin x\neq0\) (mnożenie przez liczbę różną od zera jest przekształceniem równoważnym): \[4\sin^2x\cos x+\cos x=4\sin x\cos x.\] Przenosimy wszystko na jedną stronę i wyłączamy \(\cos x\): \[\cos x\left(4\sin^2x-4\sin x+1\right)=0,\qquad \cos x\,(2\sin x-1)^2=0.\] Stąd \(\cos x=0\), czyli \(x=\tfrac{\pi}{2}\) lub \(x=\tfrac{3\pi}{2}\), albo \(\sin x=\tfrac12\), czyli \(x=\tfrac{\pi}{6}\) lub \(x=\tfrac{5\pi}{6}\). Wszystkie cztery liczby należą do dziedziny. Zbiór rozwiązań ma więc \(4\) elementy, z których \(2\) są wielokrotnościami \(\tfrac{\pi}{2}\) (są to \(\tfrac{\pi}{2}\) i \(\tfrac{3\pi}{2}\)). Losujemy bez zwracania dwie liczby, więc \(|\Omega|=\binom42=6\). Zdarzeniem przeciwnym do „co najmniej jedna wielokrotność \(\tfrac{\pi}{2}\)” jest wylosowanie obu liczb spośród pozostałych dwóch, co można zrobić na \(\binom22=1\) sposób. Zatem \[P=1-\frac16=\frac56.\] **Odpowiedź.** Zbiór rozwiązań to \(\left\{\tfrac{\pi}{6},\tfrac{\pi}{2},\tfrac{5\pi}{6},\tfrac{3\pi}{2}\right\}\), a szukane prawdopodobieństwo jest równe \(\tfrac56\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **17.1. (1 pkt)** – wyznaczenie dziedziny danego równania: \(x\in(0,\,2\pi)\setminus\{\pi\}\) **17.2. (1 pkt)** – przekształcenie danego równania do postaci (1): \((1)\quad 4\sin x\cos x+\frac{\cos x}{\sin x}=4\cos x\) **17.3. (1 pkt)** – przekształcenie równania z postaci (1) do postaci (2): \((2)\quad\cos x\left(4\sin^{2}x+1-4\sin x\right)=0\) **17.4. (1 pkt)** – rozwiązanie równania \(\cos x=0\) w wyznaczonej dziedzinie: \(x=\frac{\pi}{2}\lor x=\frac{3\pi}{2}\) **17.5. (1 pkt)** – rozwiązanie równania \(4\sin^{2}x-4\sin x+1=0\) w wyznaczonej dziedzinie: \(x=\frac{\pi}{6}\lor x=\frac{5\pi}{6}\) **17.6. (1 pkt)** – obliczenie mocy zbioru zdarzeń elementarnych: \(\lvert\Omega\rvert=6\) **17.7. (1 pkt)** – obliczenie mocy zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że co najmniej jedno z wylosowanych rozwiązań jest wielokrotnością liczby \(\frac{\pi}{2}\): \(\lvert A\rvert=5\) **17.8. (1 pkt)** – obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia \(A\): \(P(A)=\frac{5}{6}\)

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.