Zadanie 19 – matura z matematyki maj 2002, poziom rozszerzony

Boki trójkąta mają długości \(6\), \(10\) i \(14\). Stosunek promienia okręgu opisanego do promienia okręgu wpisanego jest równy \(\frac{R}{r}=\frac{14}{3}\).

Oznaczmy długości boków przez \(b-r\), \(b\), \(b+r\), gdzie \(r>0\). Suma boków jest równa \(3b=30\), więc \(b=10\). Naprzeciw kąta \(120^\circ\) leży najdłuższy bok, czyli \(10+r\). Z twierdzenia cosinusów, przy \(\cos120^\circ=-\frac12\), otrzymujemy \[(10+r)^{2}=(10-r)^{2}+10^{2}-2\cdot(10-r)\cdot10\cdot\left(-\frac12\right).\] Po uporządkowaniu \[100+20r+r^{2}=100-20r+r^{2}+100+100-10r,\qquad 50r=200,\qquad r=4,\] więc boki trójkąta mają długości \(6\), \(10\) i \(14\). Promień okręgu opisanego wyznaczamy z twierdzenia sinusów dla boku \(14\): \[2R=\frac{14}{\sin120^\circ}=\frac{14}{\frac{\sqrt3}2},\qquad R=\frac{14}{\sqrt3}.\] Pole trójkąta obliczamy z dwóch boków i kąta między nimi: \[P=\frac12\cdot6\cdot10\cdot\sin120^\circ=30\cdot\frac{\sqrt3}2=15\sqrt3,\] a promień okręgu wpisanego ze wzoru \(P=\varrho\cdot p\), gdzie \(p=15\) jest połową obwodu: \[\varrho=\frac{15\sqrt3}{15}=\sqrt3.\] Szukany stosunek wynosi \[\frac{R}{\varrho}=\frac{\frac{14}{\sqrt3}}{\sqrt3}=\frac{14}{3}.\] **Odpowiedź.** \(\frac{R}{\varrho}=\frac{14}{3}\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **19.1. (1 pkt)** – wyrażenie długości boków \(b\), \(c\) trójkąta za pomocą \(a\) i \(r\), gdzie \(a\) to długość najkrótszego boku i \(r\gt 0\): \(b=a+r,\; c=a+2r\) **19.2. (1 pkt)** – wykorzystanie informacji, że suma długości boków trójkąta wynosi \(30\), do wyznaczenia związku pomiędzy \(a\) i \(r\): \(a+r=10\) **19.3. (1 pkt)** – zastosowanie twierdzenia cosinusów do wyznaczenia drugiego związku pomiędzy \(a\) i \(r\): \((a+2r)^{2}=a^{2}+(a+r)^{2}-2a(a+r)\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\) **19.4. (1 pkt)** – zapisanie układu równań (1) z niewiadomymi \(a\) i \(r\): \((1)\quad\begin{cases}a+r=10\\ 2a^{2}-ar-3r^{2}=0\end{cases}\) **19.5. (1 pkt)** – rozwiązanie układu równań (1): \(r=4,\; a=6\) **19.6. (1 pkt)** – podanie długości boków trójkąta: \(a=6,\; b=10,\; c=14\) **19.7. (1 pkt)** – obliczenie pola trójkąta: \(P_{\Delta}=15\sqrt{3}\) **19.8. (1 pkt)** – obliczenie długości \(R\) promienia okręgu opisanego na trójkącie: \(R=\frac{14}{3}\sqrt{3}\) **19.9. (1 pkt)** – obliczenie długości \(s\) promienia okręgu wpisanego w trójkąt: \(s=\sqrt{3}\) **19.10. (1 pkt)** – wyznaczenie stosunku \(\frac{R}{s}\): \(\frac{R}{s}=\frac{14}{3}\)

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.