Równania i nierówności
Zadanie 5, lipiec 2020, poziom rozszerzony
Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego \((a_{n})\) jest równa \(2\), a suma kwadratów wszystkich jego wyrazów jest równa \(3\). Oblicz iloraz q i wpisz cyfrę jedności, części dziesiętnych i setnych wyniku.
Odpowiedź
q=\(\frac{1}{7=0}\),(\(142857\)), więc w kratki należy wpisać \(0\), \(1\), \(4\). Z równań \(a_{1}\)/(\(1\)−q)=\(2\) i \(a_{1}\)\(2\)/(\(1\)−\(q^{2}\))=\(3\) wynika \(7\)\(q^{2}\)−\(8q\)+\(1=0\); wartość q=\(1\) odrzucamy.
Rozwiązanie krok po kroku
Szereg geometryczny jest zbieżny, więc \(|q|<1\) — ten warunek trzeba zapisać
przed użyciem wzorów na sumę.
Suma wyrazów ciągu \((a_n)\) oraz suma kwadratów (ciąg \((a_n^2)\) jest
geometryczny o ilorazie \(q^2\)) dają układ
\[\frac{a_1}{1-q}=2,\qquad \frac{a_1^2}{1-q^2}=3.\]
Z pierwszego równania \(a_1=2(1-q)\). Po podstawieniu do drugiego
\[\frac{4(1-q)^2}{(1-q)(1+q)}=3,\qquad \frac{4(1-q)}{1+q}=3,\]
czyli \(4-4q=3+3q\), skąd \(7q=1\) i \(q=\tfrac17\).
Równoważnie: po uporządkowaniu otrzymuje się \(7q^2-8q+1=0\), czyli
\((7q-1)(q-1)=0\); pierwiastek \(q=1\) odrzucamy, bo nie spełnia warunku \(|q|<1\).
Rozwinięcie dziesiętne \(\tfrac17=0{,}(142857)\), więc cyfra jedności to \(0\),
cyfra części dziesiętnych \(1\), a cyfra części setnych \(4\).
**Odpowiedź.** \(q=\tfrac17\); w kratki wpisujemy \(0\), \(1\), \(4\).
Klucz i zasady oceniania
Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.
Wymagania podstawy programowej
**Wymaganie ogólne:**
II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymaganie szczegółowe:**
Zdający stosuje wzór na sumę wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego wraz z warunkiem zbieżności \(|q|<1\).
Uwaga redakcyjna: w tym miejscu w zastanym materiale znajdował się zrzut rozwiązania wzorcowego CKE wraz z wynikiem — usunięto go, bo ujawniał odpowiedź przed próbą. Kryteria oceniania są w panelu „Klucz i zasady oceniania”.
