Potęgi i pierwiastki
Zadanie 4, lipiec 2020, poziom rozszerzony
Wyrażenie
\[\frac1{\sqrt3+\sqrt2+1}\]
jest równe
**A.** \(\sqrt3+\sqrt2-1\)
**B.** \(\frac{2+\sqrt2-\sqrt6}{4}\)
**C.** \(\frac14\)
**D.** \(\frac{\sqrt3+\sqrt2-1}{6}\)
Odpowiedź
**B.** \(\frac{2+\sqrt2-\sqrt6}{4}\)
Rozwiązanie krok po kroku
Najpierw mnożymy licznik i mianownik przez \(\sqrt3+\sqrt2-1\):
\[\frac1{\sqrt3+\sqrt2+1}=\frac{\sqrt3+\sqrt2-1}{(\sqrt3+\sqrt2)^2-1}=\frac{\sqrt3+\sqrt2-1}{4+2\sqrt6}.\]
Następnie mnożymy przez \(\frac{\sqrt6-2}{\sqrt6-2}\). Mianownik jest równy \(4\), a licznik upraszcza się do \(2+\sqrt2-\sqrt6\). Ostatecznie
\[\frac1{\sqrt3+\sqrt2+1}=\frac{2+\sqrt2-\sqrt6}{4}.\]
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: B
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymagania szczegółowe:**
wykonywanie działań na pierwiastkach i usuwanie niewymierności z mianownika.
