Ciągi
Zadanie 6, lipiec 2020, poziom rozszerzony
Pierwszy wyraz ciągu \((a_{n})\) jest równy \(2\). Wszystkie wyrazy spełniają warunek \(a_{n}=3a_{n+1}+n^{2}\). Oblicz sumę \(a_{1}+a_{2}+a_{3}\).
Odpowiedź
\(a_{1}\)+\(a_{2}\)+\(a_{3}\)=\(\frac{10}{9}\). Z \(a_{1}\)=\(3\)\(a_{2}\)+\(1\) otrzymujemy \(a_{2}\)=\(\frac{1}{3}\), a z \(a_{2}\)=\(3\)\(a_{3}\)+\(4\) otrzymujemy \(a_{3}\)=−\(\frac{11}{9}\).
Rozwiązanie krok po kroku
Warunek \(a_n=3a_{n+1}+n^{2}\) pozwala wyznaczać kolejne wyrazy, jeśli przekształcimy go względem \(a_{n+1}\):
\[a_{n+1}=\frac{a_n-n^{2}}{3}.\]
Dla \(n=1\) otrzymujemy
\[a_2=\frac{2-1}{3}=\frac13,\]
a dla \(n=2\)
\[a_3=\frac{\frac13-4}{3}=\frac{-\frac{11}3}{3}=-\frac{11}9.\]
Zatem
\[a_1+a_2+a_3=2+\frac13-\frac{11}9=\frac{18}9+\frac39-\frac{11}9=\frac{10}9.\]
**Odpowiedź.** \(a_1+a_2+a_3=\frac{10}9\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – gdy obliczy drugi wyraz ciągu \((a_{n})\): \(a_{2}=\frac{1}{3}\)
**2 pkt** – gdy obliczy trzeci wyraz ciągu \((a_{n})\): \(a_{3}=-\frac{11}{9}\)
**3 pkt** – gdy obliczy sumę \(a_{1}+a_{2}+a_{3}=\frac{10}{9}\).
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 6. (0–3)
Pierwszy wyraz ciągu ( a ) , określonego dla n ≥ 1, jest równy 2. Wszystkie wyrazy tego ciągu
n
spełniają warunek a = 3⋅ a + n2 . Oblicz sumę a + a + a .
n n+1 1 2 3
Rozwiązanie
Wyznaczamy kolejno wyrazy;
1
dla n = 1 otrzymujemy: a = 3⋅ a +1 , czyli a = ,
1 2 2 3
11
dla n = 2 otrzymujemy: a = 3⋅ a + 4 , czyli a = − .
2 3 3 9
1 11 10
Stąd a + a + a = 2 + − = .
1 2 3 3 9 9
