Zadanie 8 – matura z matematyki czerwiec 2026, poziom rozszerzony

\[(x,y,z)=(1,3,9)\quad\text{lub}\quad(x,y,z)=\left(\frac{1}{9},\frac{7}{9},\frac{49}{9}\right).\]

Zapisujemy trzy warunki z treści zadania. Ciąg \((x,y,z)\) jest geometryczny, więc \[y^{2}=xz.\qquad(1)\] Ciąg \((x,y,z-4)\) jest arytmetyczny, więc wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną skrajnych: \[2y=x+z-4.\qquad(2)\] Ciąg \((x,y-1,z-5)\) jest geometryczny, więc \[(y-1)^{2}=x(z-5).\qquad(3)\] Odejmujemy \((3)\) od \((1)\), korzystając z \(y^{2}=xz\): \[y^{2}-(y-1)^{2}=xz-x(z-5),\qquad 2y-1=5x,\qquad x=\frac{2y-1}{5}.\] Z \((2)\) wyznaczamy \(z=2y+4-x\) i podstawiamy do \((1)\): \[y^{2}=x(2y+4-x)=\frac{2y-1}{5}\cdot\frac{10y+20-(2y-1)}{5}=\frac{(2y-1)(8y+21)}{25}.\] Po uporządkowaniu \[25y^{2}=16y^{2}+34y-21,\qquad 9y^{2}-34y+21=0.\] Wyróżnik wynosi \(\Delta=1156-756=400\), \(\sqrt\Delta=20\), więc \[y=\frac{34-20}{18}=\frac79\qquad\text{albo}\qquad y=\frac{34+20}{18}=3.\] Dla \(y=3\): \(x=\frac{5}{5}=1\) oraz \(z=6+4-1=9\). Dla \(y=\frac79\): \(x=\frac{\frac{14}9-1}{5}=\frac19\) oraz \(z=\frac{14}9+4-\frac19=\frac{49}9\). Sprawdzenie: \((1,3,9)\) ma iloraz \(3\), \((1,3,5)\) jest arytmetyczny, a \((1,2,4)\) geometryczny. Analogicznie \(\left(\frac19,\frac79,\frac{49}9\right)\) ma iloraz \(7\), \(\left(\frac19,\frac79,\frac{13}9\right)\) jest arytmetyczny, a \(\left(\frac19,-\frac29,\frac49\right)\) geometryczny. **Odpowiedź.** \((x,y,z)=(1,3,9)\) albo \((x,y,z)=\left(\frac19,\frac79,\frac{49}9\right)\)

**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – zapisanie układu dwóch niezależnych równań z dwiema niewiadomymi (z których jedną jest \(r\)), np. \((x+r)^{2}=x(x+2r+4)\) oraz \((x+r-1)^{2}=x(x+2r+4-5)\) (dla sposobu I) ALBO wyznaczenie \(x\) w zależności od \(r\), np. \(x=r^{2}-2r+1\) (dla sposobu I), ALBO zapisanie układu trzech niezależnych równań z trzema niewiadomymi \(x\), \(y\), \(z\), np.: \(y^{2}=x\cdot z\) oraz \(y=\frac{x+z-4}{2}\) oraz \((y-1)^{2}=x\cdot(z-5)\) (dla sposobu II), ALBO zapisanie równania z dwiema niewiadomymi \(x\), \(y\) (lub \(y\), \(z\), lub \(z\), \(x\)), np. \(y^{2}=x(2y+4-x)\), \((y-1)^{2}=(2y-z+4)\cdot(z-5)\) (dla sposobu II), ALBO zapisanie układu dwóch niezależnych równań z dwiema niewiadomymi (z których jedną jest \(q\)), np. \(xq=\frac{x+xq^{2}-4}{2}\) oraz \((xq-1)^{2}=x\cdot(xq^{2}-5)\) (dla sposobu III), ALBO wyznaczenie \(x\) w zależności od \(q\) (lub \(q\) w zależności od \(x\)), np. \(x=\frac{4}{(q-1)^{2}}\) (dla sposobu III). **2 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(r\), np. \(r^{2}=4(r^{2}-2r+1)\) (dla sposobu I) ALBO zapisanie układu dwóch niezależnych równań z dwiema niewiadomymi \(x\), \(y\) (lub \(y\), \(z\), lub \(z\), \(x\)), np.: \(y^{2}=x(2y+4-x)\) oraz \((y-1)^{2}=x(2y-x-1)\), \(y^{2}=(2y-z+4)z\) oraz \((y-1)^{2}=(2y-z+4)(z-5)\), \(\left(\frac{x+z-4}{2}\right)^{2}=xz\) oraz \(\left(\frac{x+z-4}{2}-1\right)^{2}=x(z-5)\) (dla sposobu II), ALBO zapisanie równania z jedną niewiadomą \(q\) (lub \(x\)), np. \(\frac{1}{2q-5}=\frac{4}{(q-1)^{2}}\) (dla sposobu III). **3 pkt** – obliczenie \(r\): \(r=2\) oraz \(r=\frac{2}{3}\) (dla sposobu I) ALBO zapisanie równania z jedną niewiadomą \(x\) (lub \(y\), lub \(z\)), np.: \[\left(\frac{5x+1}{2}\right)^{2}=x\left[2\cdot\left(\frac{5x+1}{2}\right)+4-x\right],\] \[y^{2}=\left(2y-\frac{8y+21}{5}+4\right)\cdot\left(\frac{8y+21}{5}\right),\] \[\left(\frac{\frac{z-5}{4}+z-4}{2}\right)^{2}=\frac{z-5}{4}\cdot z\] (dla sposobu II), ALBO obliczenie \(q\) (lub \(x\)): \(q=3\) oraz \(q=7\) (lub: \(x=\frac{1}{9}\) oraz \(x=1\)) (dla sposobu III). **4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \((x,y,z)=(1,3,9)\) oraz \((x,y,z)=\left(\frac{1}{9},\frac{7}{9},\frac{49}{9}\right)\). Uwagi: 1. Jeżeli zdający przyjmuje, że \(y=\sqrt{x\cdot z}\), to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający otrzyma więcej niż dwa ciągi \((x,y,z)\), wśród których dwa są właściwe: \((x,y,z)=(1,3,9)\) oraz \((x,y,z)=\left(\frac{1}{9},\frac{7}{9},\frac{49}{9}\right)\), i nie odrzuci pozostałych ciągów, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie. 3. Jeżeli zdający myli ciąg geometryczny z arytmetycznym, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.5) Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz i na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego; VI.6) Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz i na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.