Rachunek prawdopodobieństwa
Zadanie 6, czerwiec 2026, poziom rozszerzony
Chleb sprzedawany w pewnym supermarkecie pochodzi z trzech piekarni: \(P_{1}\), \(P_{2}\), \(P_{3}\). Stosunek liczby bochenków chleba dostarczonego przez piekarnie \(P_{1}\), \(P_{2}\) oraz \(P_{3}\) do tego supermarketu jest odpowiednio równy \(2:3:4\). Liczba bochenków chleba razowego dostarczonego z piekarni:
- \(P_{1}\) stanowi \(10\%\) liczby wszystkich bochenków chleba dostarczonego z tej piekarni,
- \(P_{2}\) stanowi \(12\%\) liczby wszystkich bochenków chleba dostarczonego z tej piekarni,
- \(P_{3}\) stanowi \(15\%\) liczby wszystkich bochenków chleba dostarczonego z tej piekarni.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że bochenek chleba losowo wybrany w tym supermarkecie pochodzi z piekarni \(P_{1}\), jeśli wiadomo, że ten chleb jest razowy. Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
\(\displaystyle P(P_{1}\mid R)=\frac{5}{29}\)
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(P_1\), \(P_2\), \(P_3\) oznaczają zdarzenia „bochenek pochodzi z danej piekarni", a \(R\) — „bochenek jest razowy".
Zdarzenia \(P_1\), \(P_2\), \(P_3\) są parami rozłączne i wyczerpują wszystkie możliwości, więc tworzą układ zupełny. Stosunek dostaw wynosi \(2:3:4\), a \(2+3+4=9\), zatem
\[P(P_1)=\frac29,\qquad P(P_2)=\frac39,\qquad P(P_3)=\frac49.\]
Udziały chleba razowego są prawdopodobieństwami warunkowymi:
\[P(R\mid P_1)=0{,}10,\qquad P(R\mid P_2)=0{,}12,\qquad P(R\mid P_3)=0{,}15.\]
Z twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym
\[P(R)=\frac29\cdot0{,}10+\frac39\cdot0{,}12+\frac49\cdot0{,}15=\frac{0{,}20+0{,}36+0{,}60}{9}=\frac{1{,}16}{9}.\]
Ze wzoru Bayesa
\[P(P_1\mid R)=\frac{P(P_1)\cdot P(R\mid P_1)}{P(R)}=\frac{\frac{0{,}20}{9}}{\frac{1{,}16}{9}}=\frac{0{,}20}{1{,}16}=\frac{20}{116}=\frac5{29}.\]
**Odpowiedź.** \(P(P_1\mid R)=\frac5{29}\)
Klucz i zasady oceniania
**Zasady oceniania (dla sposobu I)**
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
**1 pkt** – zapisanie/obliczenie prawdopodobieństw zdarzeń \(A_1\), \(A_2\) i \(A_3\): \(P(A_1)=\frac{2}{9}\) oraz \(P(A_2)=\frac{3}{9}\), oraz \(P(A_3)=\frac{4}{9}\) ALBO zapisanie/obliczenie prawdopodobieństw \(P(B|A_1)\), \(P(B|A_2)\) i \(P(B|A_3)\): \(P(B|A_1)=\frac{10}{100}\) oraz \(P(B|A_2)=\frac{12}{100}\), oraz \(P(B|A_3)=\frac{15}{100}\).
**2 pkt** – zapisanie/obliczenie prawdopodobieństw zdarzeń \(A_1\), \(A_2\) i \(A_3\) oraz prawdopodobieństw \(P(B|A_1)\), \(P(B|A_2)\) i \(P(B|A_3)\): \(P(A_1)=\frac{2}{9}\) oraz \(P(A_2)=\frac{3}{9}\), oraz \(P(A_3)=\frac{4}{9}\), oraz \(P(B|A_1)=\frac{10}{100}\), oraz \(P(B|A_2)=\frac{12}{100}\), oraz \(P(B|A_3)=\frac{15}{100}\).
**3 pkt** – obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia \(B\): \(P(B)=\frac{116}{900}\).
**4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(\frac{5}{29}\).
**Zasady oceniania (dla sposobu II)**
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
**1 pkt** – zapisanie liczby bochenków chleba dostarczonego przez poszczególne piekarnie w zależności od jednej zmiennej, np. \(2n\) oraz \(3n\) i \(4n\).
**2 pkt** – wyznaczenie prawdopodobieństwa zdarzenia \(A_1\cap B\), np. \(P(A_1\cap B)=\frac{0{,}2n}{2n+3n+4n}\) ALBO wyznaczenie prawdopodobieństwa zdarzenia \(B\), np. \(P(B)=\frac{1{,}16n}{2n+3n+4n}\), ALBO zapisanie liczby bochenków chleba dostarczonego przez poszczególne piekarnie oraz liczby bochenków chleba razowego dostarczonego przez piekarnię \(\mathcal../../_1\) w zależności od jednej zmiennej, np. \(2n\) oraz \(3n\) i \(4n\) oraz \(0{,}2n\).
**3 pkt** – wyznaczenie prawdopodobieństw zdarzeń \(A_1\cap B\) oraz \(B\), np. \(P(A_1\cap B)=\frac{0{,}2}{9}\) oraz \(P(B)=\frac{1{,}16n}{2n+3n+4n}\), ALBO zapisanie liczby bochenków chleba razowego dostarczonego przez piekarnię \(\mathcal../../_1\) oraz łącznej liczby bochenków chleba razowego dostarczonego przez piekarnie w zależności od jednej zmiennej, np. \(0{,}2n\) oraz \(1{,}16n\).
**4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(\frac{5}{29}\).
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
XII.R1) Zdający oblicza prawdopodobieństwo warunkowe i stosuje wzór Bayesa, stosuje twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym.
