Okręgi i koła
Zadanie 7, czerwiec 2025, poziom rozszerzony
Na czworokącie wypukłym \(ABCD\) o bokach długości: \(\lvert AB\rvert=3\), \(\lvert BC\rvert=3\), \(\lvert CD\rvert=5\) oraz \(\lvert DA\rvert=8\), opisano okrąg.
Oblicz promień tego okręgu. Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
\[R=\frac{7\sqrt3}{3}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy boki \(a=\lvert AB\rvert=3\), \(b=\lvert BC\rvert=3\), \(c=\lvert CD\rvert=5\), \(d=\lvert DA\rvert=8\) oraz połowę obwodu
\[s=\frac{3+3+5+8}{2}=\frac{19}{2}.\]
Czworokąt jest wpisany w okrąg, więc jego pole daje wzór Brahmagupty:
\[K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}=\sqrt{\tfrac{13}{2}\cdot\tfrac{13}{2}\cdot\tfrac92\cdot\tfrac32}=\sqrt{\frac{169\cdot27}{16}}=\frac{39\sqrt3}{4}.\]
Promień okręgu opisanego na czworokącie wpisanym wyraża wzór
\[R=\frac{\sqrt{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}}{4K}.\]
Obliczamy kolejne czynniki:
\[ab+cd=9+40=49,\qquad ac+bd=15+24=39,\qquad ad+bc=24+15=39,\]
\[\sqrt{49\cdot39\cdot39}=7\cdot39=273.\]
Stąd
\[R=\frac{273}{4\cdot\frac{39\sqrt3}{4}}=\frac{273}{39\sqrt3}=\frac{7}{\sqrt3}=\frac{7\sqrt3}{3}.\]
**Odpowiedź.** \(R=\dfrac{7\sqrt3}{3}\)
Klucz i zasady oceniania
**1–2 pkt** – obliczenie pola czworokąta, np. ze wzoru Brahmagupty albo przez podział przekątną i wykorzystanie \(\cos\lvert\angle BCD\rvert=-\cos\lvert\angle BAD\rvert\).
**3 pkt** – zapisanie zależności wiążącej promień okręgu opisanego z bokami i polem.
**4 pkt** – obliczenie \(R=\frac{7\sqrt3}{3}\).
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja - stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych.
**Wymagania szczegółowe:**
VIII.R1) Zdający stosuje własności czworokątów wpisanych w okrąg i opisanych na okręgu.
