Zadanie 10 – matura z matematyki czerwiec 2025, poziom rozszerzony

Szukany stosunek jest równy \(6\). Przyjmując \(\lvert CE\rvert=3x\) i \(\lvert DE\rvert=11x\) (a więc \(\lvert CD\rvert=14x\)), z twierdzenia Pitagorasa dla trójkątów \(BED\) i \(BEC\) otrzymujemy \(\lvert BE\rvert=5\sqrt3\,x\) oraz \(\lvert BC\rvert=2\sqrt{21}\,x\). Stąd pole powierzchni bocznej wynosi \(105\sqrt3\,x^{2}\), pole podstawy \(21\sqrt3\,x^{2}\), a szukany stosunek \(\frac{126\sqrt3\,x^{2}}{21\sqrt3\,x^{2}}=6\).

**Krok \(1\).** Metoda: płaszczyzna przekroju jest prostopadła do krawędzi \(CD\), więc leżące w niej odcinki \(AE\) i \(BE\) są prostopadłe do \(CD\). Odcinek \(BE\) jest zatem wysokością ściany bocznej \(BCD\) opuszczoną na krawędź \(CD\). Wszystkie wymiary wyrazimy przez jeden parametr. **Krok \(2\).** Ze stosunku \(\frac{\lvert CE\rvert}{\lvert DE\rvert}=\frac{3}{11}\) przyjmujemy \[\lvert CE\rvert=3x,\qquad \lvert DE\rvert=11x,\qquad \lvert CD\rvert=14x\quad (x\gt 0).\] Ostrosłup jest prawidłowy, więc wszystkie krawędzie boczne są równe: \(\lvert BD\rvert=\lvert AD\rvert=\lvert CD\rvert=14x\). **Krok \(3\).** Trójkąt \(BED\) jest prostokątny (kąt prosty przy \(E\)), więc z twierdzenia Pitagorasa \[\lvert BE\rvert^{2}=\lvert BD\rvert^{2}-\lvert DE\rvert^{2}=(14x)^{2}-(11x)^{2}=196x^{2}-121x^{2}=75x^{2},\] \[\lvert BE\rvert=5\sqrt3\,x.\] **Krok \(4\).** Trójkąt \(BEC\) także jest prostokątny przy \(E\), więc \[\lvert BC\rvert^{2}=\lvert CE\rvert^{2}+\lvert BE\rvert^{2}=(3x)^{2}+\left(5\sqrt3\,x\right)^{2}=9x^{2}+75x^{2}=84x^{2},\] \[\lvert BC\rvert=2\sqrt{21}\,x.\] To jest długość krawędzi podstawy. **Krok \(5\).** Obliczamy pole jednej ściany bocznej, traktując \(CD\) jako podstawę, a \(BE\) jako wysokość: \[P_{BCD}=\frac{1}{2}\cdot\lvert CD\rvert\cdot\lvert BE\rvert=\frac{1}{2}\cdot 14x\cdot 5\sqrt3\,x=35\sqrt3\,x^{2},\] a pole powierzchni bocznej (trzy przystające ściany) wynosi \[P_{b}=3\cdot 35\sqrt3\,x^{2}=105\sqrt3\,x^{2}.\] **Krok \(6\).** Obliczamy pole podstawy — trójkąta równobocznego o boku \(2\sqrt{21}\,x\): \[P_{p}=\frac{\left(2\sqrt{21}\,x\right)^{2}\sqrt3}{4}=\frac{84x^{2}\sqrt3}{4}=21\sqrt3\,x^{2}.\] **Krok \(7\).** Obliczamy szukany stosunek pola powierzchni całkowitej do pola podstawy: \[\frac{P_{b}+P_{p}}{P_{p}}=\frac{105\sqrt3\,x^{2}+21\sqrt3\,x^{2}}{21\sqrt3\,x^{2}}=\frac{126}{21}=6.\] **Uwaga.** Pole powierzchni całkowitej to suma pola powierzchni bocznej i pola podstawy — łatwo tu podać samo \(\frac{P_{b}}{P_{p}}=5\). Parametr \(x\) skraca się, co potwierdza, że stosunek zależy tylko od danego w zadaniu podziału krawędzi. **Odpowiedź.** Stosunek pola powierzchni całkowitej ostrosłupa do pola jego podstawy jest równy \(6\).

**(dla sposobów I – III)** **5 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(6\). **4 pkt** – wyznaczenie w zależności od \(x\) czterech spośród wielkości 1)-4) określonych w zasadach oceniania za 1 punkt ALBO – wyznaczenie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa w zależności od \(x\): \(126\sqrt{3}x^2\). **3 pkt** – wyznaczenie w zależności od \(x\) trzech spośród wielkości 1)-4) określonych w zasadach oceniania za 1 punkt. **2 pkt** – wyznaczenie w zależności od \(x\) dwóch spośród wielkości 1)-4) określonych w zasadach oceniania za 1 punkt. **1 pkt** – wyznaczenie w zależności od \(x\) jednej z poniższych wielkości 1)-4): 1) długości wysokości ściany bocznej, np. \(\lvert BE\rvert=5\sqrt{3}x\), \(\lvert DF\rvert=5\sqrt{7}x\), 2) długości krawędzi podstawy \(ABC\): \(\lvert BC\rvert=2\sqrt{21}x\), 3) pola podstawy \(ABC\): \(21\sqrt{3}x^2\), 4) pola ściany bocznej (lub pola powierzchni bocznej): \(35\sqrt{3}x^2\) (lub \(105\sqrt{3}x^2\)). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** X.5) Zdający oblicza objętości i pola graniastosłupów, ostrosłupów […]. X.R2) Zdający wyznacza przekroje sześcianu i ostrosłupów prawidłowych […].