Ciąg geometryczny
Zadanie 9, czerwiec 2024, poziom rozszerzony
Nieskończony ciąg geometryczny \((a_{n})\) jest określony dla \(n \geq 1\). Suma wyrazów o numerach nieparzystych wynosi \(a_{1}+a_{3}+a_{5}+\)...\(=16\). Ponadto \(a_{1}+a_{3}=(\frac{5}{2}) \cdot a_{2}\). Wyznacz wzór ogólny na n-ty wyraz ciągu. Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
\[a_n=12\cdot\left(\frac12\right)^{n-1}=24\cdot\left(\frac12\right)^{n}.\]
Warunek zbieżności \(|q^{2}|<1\) odrzuca \(q=2\) i pozostawia \(q=\frac12\). Suma wyrazów o numerach nieparzystych daje \(\frac{a_1}{1-q^{2}}=16\), więc \(a_1=12\).
Rozwiązanie krok po kroku
Wyrazy o numerach nieparzystych \(a_1,a_3,a_5,\ldots\) tworzą ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie \(a_1\) i ilorazie \(q^{2}\). Suma tego szeregu istnieje, więc \(a_1\ne0\) oraz \(|q^{2}|<1\); ten warunek zapisujemy przed użyciem wzoru na sumę:
\[\frac{a_1}{1-q^{2}}=16.\]
Drugi warunek zadania przekształcamy, korzystając z \(a_2=a_1q\) i \(a_3=a_1q^{2}\):
\[a_1+a_1q^{2}=\frac52a_1q,\qquad a_1\left(q^{2}-\frac52q+1\right)=0.\]
Ponieważ \(a_1\ne0\), otrzymujemy \(2q^{2}-5q+2=0\), czyli \(q=2\) albo \(q=\frac12\).
Dla \(q=2\) mamy \(q^{2}=4\) i warunek \(|q^{2}|<1\) nie jest spełniony — ten przypadek odpada. Dla \(q=\frac12\) mamy \(q^{2}=\frac14<1\), więc
\[\frac{a_1}{1-\frac14}=16,\qquad a_1=16\cdot\frac34=12.\]
**Odpowiedź.** \(a_n=12\cdot\left(\frac12\right)^{n-1}=24\cdot\left(\frac12\right)^{n}\)
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(a_{n}=12\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\), \(a_{n}=24\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\).
**3 pkt** – odrzucenie wartości \(q=2\) oraz poprawne zastosowanie wzoru na sumę szeregu geometrycznego i zapisanie równania z jedną niewiadomą \(a_{1}\): \(\frac{a_{1}}{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}=16\) (dla sposobu I)
ALBO
– zapisanie równania z jedną niewiadomą \(q\) oraz obliczenie pierwiastków tego równania, np. \(16(1-q^{2})+16(1-q^{2})\cdot q^{2}=\frac{5}{2}\cdot 16(1-q^{2})\cdot q\) i \(q=1\) oraz \(q=-1\), oraz \(q=\frac{1}{2}\), oraz \(q=2\), oraz odrzucenie tych wartości \(q\), dla których nie jest spełniony warunek zbieżności \(\lvert q^{2}\rvert<1\) (dla sposobu II).
**2 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(q\) oraz obliczenie pierwiastków tego równania, np. \(2q^{2}-5q+2=0\) i \(q=\frac{1}{2}\) oraz \(q=2\) (dla sposobu I)
ALBO
– zapisanie równań \(a_{1}+a_{1}\cdot q^{2}=\frac{5}{2}a_{1}\cdot q\) oraz \(\frac{a_{1}}{1-q^{2}}=16\) (dla sposobu II).
**1 pkt** – zapisanie równania \(a_{1}+a_{1}\cdot q^{2}=\frac{5}{2}a_{1}\cdot q\) (dla sposobu I)
ALBO
– poprawne zastosowanie wzoru na sumę szeregu geometrycznego i zapisanie równania \(\frac{a_{1}}{1-q^{2}}=16\) (dla sposobu II).
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
**Uwagi:**
1. Jeżeli zdający zapisze sumę wszystkich wyrazów ciągu o wyrazach nieparzystych jako \(\frac{a_{1}}{1-q}\) i rozwiąże zadanie konsekwentnie do końca, to otrzymuje \(3\) punkty za całe rozwiązanie.
2. Jeżeli zdający myli ciąg geometryczny z arytmetycznym, to otrzymuje \(0\) punktów za całe rozwiązanie.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania egzaminacyjne 2024**
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
VI.R2) Zdający rozpoznaje zbieżne szeregi geometryczne i oblicza ich sumę.
