Odczytywanie własności z wykresu
Zadanie 15, czerwiec 2024, poziom rozszerzony
Rozważamy trapezy równoramienne, których przekątne mają długość \(10\). Odcinek łączący środki ramion trapezu ma długość \(x\).
**a)** Wykaż, że pole trapezu opisuje funkcja
\[P(x)=x\sqrt{100-x^2}.\]
**b)** Wyznacz dziedzinę tej funkcji wynikającą z warunków zadania.
**c)** Wyznacz wartość \(x\), dla której pole trapezu jest największe, i oblicz to największe pole. Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
**a)** \(P(x)=x\sqrt{100-x^2}\)
**b)** \(x\in(0,10)\)
**c)** Pole jest największe dla \(x=5\sqrt2\) i wynosi \(50\).
Rozwiązanie krok po kroku
**a)** W trapezie równoramiennym rzut poziomy każdej przekątnej jest równy długości odcinka łączącego środki ramion, czyli \(x\). Jeśli \(h\) jest wysokością trapezu, to z twierdzenia Pitagorasa
\[x^2+h^2=10^2,\qquad h=\sqrt{100-x^2}.\]
Pole trapezu jest iloczynem jego wysokości i długości odcinka łączącego środki ramion, więc
\[P(x)=xh=x\sqrt{100-x^2}.\]
**b)** Z warunków geometrycznych \(x>0\) oraz \(h>0\), zatem \(100-x^2>0\). Stąd \(x\in(0,10)\).
**c)** Dla \(x\in(0,10)\) maksymalizacja \(P\) jest równoważna maksymalizacji
\[P(x)^2=x^2(100-x^2).\]
Niech \(u=x^2\). Wtedy
\[P(x)^2=u(100-u)=2500-(u-50)^2\leq2500.\]
Równość zachodzi dla \(u=50\), czyli \(x=5\sqrt2\). Wówczas \(P_{\max}=\sqrt{2500}=50\).
Klucz i zasady oceniania
**Łącznie można uzyskać: 7 pkt** –
**Część a: 2 pkt** – pełne wyprowadzenie wzoru \(P(x)=x\sqrt{100-x^2}\)
**1 pkt** – poprawny istotny krok prowadzący do tego wzoru
**Część b: 1 pkt** – wyznaczenie dziedziny \(x\in(0,10)\)
**Część c: 4 pkt** – poprawna metoda oraz wynik \(x=5\sqrt2\), \(P_{\max}=50\)
**3 pkt** – poprawne zbadanie monotoniczności lub równoważne przekształcenie prowadzące do maksimum
**2 pkt** – wyznaczenie punktu krytycznego albo poprawne rozpoczęcie maksymalizacji
**1 pkt** – obliczenie pochodnej lub równoważny istotny krok
**0 pkt** – rozwiązanie z niepoprawną metodą albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Modelowanie matematyczne.
**Wymagania szczegółowe:**
11. R6) Zdający stosuje pochodne do rozwiązywania zagadnień optymalizacyjnych.
