Zadanie 8 – matura z matematyki czerwiec 2023, poziom rozszerzony

\[x\in\left\{-\frac{5\pi}{12},-\frac\pi8,-\frac\pi{12},\frac\pi4,\frac{3\pi}{8}\right\}.\]

Zapisujemy \[\cos x=\sin\left(\frac\pi2-x\right).\] Równanie przyjmuje postać \[\sin(5x)+\sin\left(\frac\pi2-x\right)=0.\] Korzystamy ze wzoru na sumę sinusów: \[2\sin\left(2x+\frac\pi4\right)\cos\left(3x-\frac\pi4\right)=0.\] Stąd \[\sin\left(2x+\frac\pi4\right)=0\quad\text{lub}\quad\cos\left(3x-\frac\pi4\right)=0.\] Pierwsze równanie daje \[x=-\frac\pi8+\frac{k\pi}{2},\] a drugie \[x=\frac\pi4+\frac{k\pi}{3}.\] Po ograniczeniu do \(\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]\) otrzymujemy \[x\in\left\{-\frac{5\pi}{12},-\frac\pi8,-\frac\pi{12},\frac\pi4,\frac{3\pi}{8}\right\}.\]

**4 pkt** – poprawna metoda i wszystkie rozwiązania w podanym przedziale **3 pkt** – rozwiązanie otrzymanych rodzin równań w \(\mathbb R\), albo rozwiązanie jednej gałęzi w podanym przedziale, albo rozwiązanie wszystkich gałęzi w \(\mathbb R\) **2 pkt** – równoważne przekształcenie do równości sinusów lub cosinusów albo do alternatywy elementarnych równań trygonometrycznych **1 pkt** – zastosowanie wzoru redukcyjnego i zapisanie równania z jedną funkcją trygonometryczną **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji; 2. Używanie języka matematycznego do tworzenia tekstów matematycznych, w tym do opisu prowadzonych rozumowań i uzasadniania wniosków, a także do przedstawiania danych. IV. Rozumowanie i argumentacja; 4. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** 2 x\cos 5 x=2\cos 7 x+1\).