Ciąg geometryczny
Zadanie 10, czerwiec 2022, poziom rozszerzony
Dany jest nieskończony ciąg geometryczny \((a_n)\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq1\), którego iloraz \(q\) jest równy pierwszemu wyrazowi i spełnia warunek \(|q|<1\). Stosunek sumy \(S_N\) wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach nieparzystych do sumy \(S_P\) wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równy różnicy tych sum, tj.
\[\frac{S_N}{S_P}=S_N-S_P.\]
**Oblicz \(q\).**
Odpowiedź
\[q=\frac{1-\sqrt5}{2}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Ciągi wyrazów o numerach nieparzystych i parzystych są geometryczne o ilorazie \(q^2\). Ponieważ \(a_1=q\) i \(a_2=q^2\), mamy
\[S_N=\frac{q}{1-q^2},\qquad S_P=\frac{q^2}{1-q^2}.\]
Warunek zadania daje
\[\frac{S_N}{S_P}=S_N-S_P,\]
czyli
\[\frac1q=\frac{q-q^2}{1-q^2}=\frac{q}{1+q}.\]
Stąd
\[q^2-q-1=0,\]
więc
\[q=\frac{1-\sqrt5}{2}\quad\text{lub}\quad q=\frac{1+\sqrt5}{2}.\]
Druga wartość nie spełnia warunku \(|q|<1\), dlatego \(q=\frac{1-\sqrt5}{2}\).
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – rozwiązanie równania i odrzucenie wartości niespełniającej \(|q|<1\)
**3 pkt** – otrzymanie równania \(q^2-q-1=0\)
**2 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(q\) wynikającego z warunku zadania
**1 pkt** – poprawne zapisanie sum \(S_N\) i \(S_P\)
**0 pkt** – brak poprawnego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. modelowanie matematyczne.
**Wymagania szczegółowe:**
R5.2 rozpoznawanie zbieżnych szeregów geometrycznych i obliczanie ich sum.
