Czworokąty
Zadanie 9, czerwiec 2022, poziom rozszerzony
W trapezie \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\) przez punkt \(O\) przecięcia się przekątnych poprowadzono dwie proste równoległe do boków \(BC\) i \(AD\). Prosta równoległa do boku \(BC\) przecina bok \(AB\) w punkcie \(B'\), a prosta równoległa do boku \(AD\) przecina bok \(AB\) w punkcie \(A'\). **Wykaż, że**
\[|AA'|=|BB'|.\]
Odpowiedź
\[|AA'|=|BB'|.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy przez \(H\) wysokość trapezu \(ABCD\), a przez \(h\) odległość punktu \(O\) od podstawy \(AB\). Ponieważ \(AD\parallel A'O\), trójkąty \(ABD\) i \(A'BO\) są podobne, zatem
\[\frac{|AB|}{|A'B|}=\frac{H}{h}.\]
Ponieważ \(BC\parallel B'O\), trójkąty \(ABC\) i \(AB'O\) także są podobne, więc
\[\frac{|AB|}{|AB'|}=\frac{H}{h}.\]
Stąd \(|A'B|=|AB'|\). Ponadto
\[|A'B|=|AB|-|AA'|,\qquad |AB'|=|AB|-|BB'|.\]
Po odjęciu \(|AB|\) otrzymujemy \(|AA'|=|BB'|\), co należało wykazać.
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – przeprowadzenie pełnego poprawnego dowodu
**2 pkt** – zapisanie obu proporcji wynikających z podobieństwa trójkątów
**1 pkt** – rozpoznanie jednego z podobieństw i zapisanie odpowiedniej proporcji
**0 pkt** – brak poprawnego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
V. rozumowanie i argumentacja.
**Wymagania szczegółowe:**
R7.3 rozpoznawanie figur podobnych i wykorzystywanie ich własności.
