Wartości funkcji trygonometrycznych
Zadanie 11, czerwiec 2022, poziom rozszerzony
**Rozwiąż równanie**
\[\cos(3x)+\sqrt3\sin(3x)+1=0\]
**w przedziale** \(\left\langle0,\pi\right\rangle\).
Odpowiedź
\[x\in\left\{\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{9},\pi\right\}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Dzielimy równanie przez \(2\) i stosujemy wzór na sinus sumy:
\[\frac12\cos(3x)+\frac{\sqrt3}{2}\sin(3x)=-\frac12,\]
\[\sin\left(3x+\frac{\pi}{6}\right)=-\frac12.\]
Stąd
\[x=\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi}{3}k\quad\text{lub}\quad x=-\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi}{3}k,\qquad k\in\mathbb Z.\]
Po ograniczeniu rozwiązań do przedziału \(\left\langle0,\pi\right\rangle\) otrzymujemy
\[x=\frac{\pi}{3},\qquad x=\frac{5\pi}{9},\qquad x=\pi.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawna metoda i wszystkie trzy rozwiązania z podanego przedziału
**3 pkt** – poprawne wyznaczenie obu rodzin rozwiązań w \(\mathbb R\) albo co najmniej jednego poprawnego rozwiązania w zadanym przedziale
**2 pkt** – sprowadzenie do równania \(\sin(3x+\frac{\pi}{6})=-\frac12\) albo równoważnego
**1 pkt** – poprawne rozpoczęcie przekształcenia trygonometrycznego
**0 pkt** – brak poprawnego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
R6.6 rozwiązywanie równań trygonometrycznych.
