Ciąg geometryczny
Zadanie 11, czerwiec 2018, poziom rozszerzony
Dany jest nieskończony ciąg okręgów \(\left(o_n\right)\) o równaniach
\[x^2+y^2=2^{11-n},\qquad n\geq1.\]
Niech \(P_k\) będzie pierścieniem ograniczonym zewnętrznym okręgiem \(o_{2k-1}\) i wewnętrznym okręgiem \(o_{2k}\). Oblicz sumę pól wszystkich pierścieni \(P_k\), gdzie \(k\geq1\).
Odpowiedź
\[S=\frac{2^{11}\pi}{3}=\frac{2048\pi}{3}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Z równania \(o_n\) wynika, że \(r_n^2=2^{11-n}\). Pole pierścienia \(P_k\) jest więc równe
\[P_k=\pi r_{2k-1}^2-\pi r_{2k}^2=\pi\left(2^{12-2k}-2^{11-2k}\right)=\pi\,2^{11-2k}.\]
Pola tworzą ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie
\[P_1=2^9\pi\]
i ilorazie \(q=\frac14\). Ponieważ \(|q|<1\), suma wszystkich pól istnieje i wynosi
\[S=\frac{2^9\pi}{1-\frac14}=\frac{2^{11}\pi}{3}=\frac{2048\pi}{3}.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – obliczenie sumy \(S=\frac{2^{11}\pi}{3}\) i zaznaczenie, że istnieje ona, ponieważ \(|q|<1\)
**3 pkt** – zastosowanie wzoru \(S=\frac{2^9\pi}{1-\frac14}\)
**2 pkt** – zauważenie, że pola pierścieni tworzą ciąg geometryczny o ilorazie \(q=\frac14\)
**1 pkt** – obliczenie pola pierwszego pierścienia \(P_1=2^9\pi\)
**0 pkt** – brak koniecznego postępu
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE nie zawiera przy tym zadaniu osobnej tabeli wymagań.
**Klasyfikacja rzeczowa:** geometria analityczna i ciągi - równanie okręgu, pole pierścienia oraz suma nieskończonego szeregu geometrycznego.
