Ciąg arytmetyczny
Zadanie 10, czerwiec 2018, poziom rozszerzony
Dany jest rosnący ciąg geometryczny \(\left(a,aq,aq^2\right)\), którego wszystkie wyrazy i iloraz są liczbami całkowitymi nieparzystymi. Jeśli największy wyraz ciągu zmniejszymy o \(4\), to otrzymamy ciąg arytmetyczny. Oblicz wyraz \(aq\) tego ciągu.
Odpowiedź
\[aq=3.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Największym wyrazem rosnącego ciągu jest \(aq^2\). Po jego zmniejszeniu o \(4\) ciąg \(a,aq,aq^2-4\) ma być arytmetyczny, więc
\[2aq=a+aq^2-4.\]
Po uporządkowaniu
\[a(q-1)^2=4.\]
Liczby \(a\) i \(q\) są nieparzystymi liczbami całkowitymi, a ciąg jest rosnący. Stąd jedyną dopuszczalną możliwością jest
\[a=1,\qquad (q-1)^2=4,\qquad q=3.\]
Wartość \(q=-1\) nie daje ciągu rosnącego. Zatem
\[aq=1\cdot3=3.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – obliczenie drugiego wyrazu ciągu: \(aq=3\)
**3 pkt** – wykorzystanie rozkładu liczby \(4\) na czynniki i wyznaczenie co najmniej jednej z liczb \(a\) lub \(q\)
**2 pkt** – otrzymanie równania \(a(q-1)^2=4\)
**1 pkt** – zapisanie warunku ciągu arytmetycznego, np. \(2aq=a+aq^2-4\)
**0 pkt** – brak istotnego postępu
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE nie zawiera przy tym zadaniu osobnej tabeli wymagań.
**Klasyfikacja rzeczowa:** ciągi - własności ciągu geometrycznego i arytmetycznego oraz całkowite, nieparzyste wartości parametrów.
