Czworokąty
Zadanie 12, czerwiec 2018, poziom rozszerzony
Trapez prostokątny ABCD o podstawach AB i CD jest opisany na okręgu. Ramię BC ma długość \(10\), AD jest wysokością, a \(AB=2 \cdot CD\). Oblicz pole trapezu.
Odpowiedź
\[P_{ABCD}=72.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy \(\lvert CD\rvert=b\); z warunku zadania \(\lvert AB\rvert=2b\). Ramię \(AD\) jest wysokością trapezu — oznaczmy \(\lvert AD\rvert=h\).
W czworokącie opisanym na okręgu sumy długości przeciwległych boków są równe:
\[\lvert AB\rvert+\lvert CD\rvert=\lvert AD\rvert+\lvert BC\rvert,\qquad 2b+b=h+10,\qquad h=3b-10.\]
Rzut wierzchołka \(C\) na podstawę \(AB\) odcina trójkąt prostokątny o przyprostokątnych \(\lvert AB\rvert-\lvert CD\rvert=b\) oraz \(h\), a przeciwprostokątnej \(\lvert BC\rvert=10\). Z twierdzenia Pitagorasa
\[b^2+h^2=100,\qquad b^2+\left(3b-10\right)^2=100,\]
\[10b^2-60b=0,\qquad 10b\left(b-6\right)=0.\]
Ponieważ \(b>0\), otrzymujemy \(b=6\), a stąd \(h=8\) i \(\lvert AB\rvert=12\). Sprawdzenie: \(\sqrt{6^2+8^2}=10\).
Pole trapezu:
\[P=\frac{\lvert AB\rvert+\lvert CD\rvert}{2}\cdot h=\frac{12+6}{2}\cdot8=72.\]
**Odpowiedź.** \(P_{ABCD}=72\)
Klucz i zasady oceniania
**1–2 pkt** – zapisanie warunku opisania trapezu na okręgu i wyrażenie wysokości przez \(b\).
**3–4 pkt** – ułożenie i rozwiązanie równania \(b^2+(3b-10)^2=100\).
**5 pkt** – obliczenie pola \(P=72\).
Wymagania podstawy programowej
Klasyfikacja rzeczowa: stosowanie własności czworokąta opisanego na okręgu, twierdzenia Pitagorasa i wzoru na pole trapezu.
