Ciąg geometryczny
Zadanie 5, czerwiec 2017, poziom rozszerzony
Dany jest nieskończony ciąg geometryczny, w którym iloraz jest trzy razy większy od pierwszego wyrazu, a suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa \(\frac14\). Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy
**A.** \(\frac37\)
**B.** \(\frac17\)
**C.** \(\frac73\)
**D.** \(7\)
Odpowiedź
**B.** \(a_1=\frac17\)
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy pierwszy wyraz przez \(a_1=a\). Wtedy iloraz \(q=3a\), a z warunku sumy szeregu geometrycznego mamy
\[\frac{a}{1-3a}=\frac14.\]
Stąd \(4a=1-3a\), więc \(a=\frac17\). Otrzymane \(q=\frac37\) spełnia warunek \(|q|<1\).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź B
**0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak
Wymagania podstawy programowej
**Klasyfikacja CKE:** ciągi - suma nieskończonego szeregu geometrycznego i warunek jego zbieżności.
