Równania i nierówności
Zadanie 6, czerwiec 2016, poziom rozszerzony
Dany jest nieskończony ciąg geometryczny \((a_{n}), n \geq 1, w\) którym iloraz jest równy pierwszemu wyrazowi, a suma wszystkich wyrazów wynosi \(12\). Oblicz pierwszy wyraz i zakoduj pierwsze trzy cyfry po przecinku.
Odpowiedź
Pierwszy wyraz wynosi \(\frac{12}{13=0,923076}\)..., więc należy zakodować cyfry \(9\), \(2\), \(3\). Jeśli \(a_{1}\)=q=a, to a/(\(1\)−a)=\(12\), skąd \(13a\)=\(12\); warunek |q|<\(1\) jest spełniony.
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy \(a_1=q=a\). Szereg jest zbieżny, więc \(|a|<1\).
Ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego
\[\frac{a_1}{1-q}=\frac{a}{1-a}=12.\]
Stąd \(a=12-12a\), czyli \(13a=12\) i \(a=\tfrac{12}{13}\).
Warunek \(|q|<1\) jest spełniony, bo \(\tfrac{12}{13}<1\).
Dzieląc pisemnie, \(\tfrac{12}{13}=0{,}923076\ldots\), więc trzy pierwsze cyfry
po przecinku to \(9\), \(2\), \(3\).
**Odpowiedź.** \(a_1=\tfrac{12}{13}\); kodujemy \(9\), \(2\), \(3\).
Klucz i zasady oceniania
Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.
Wymagania podstawy programowej
Klasyfikacja rzeczowa: stosowanie wzoru na sumę nieskończonego ciągu geometrycznego i warunku jego zbieżności.
