Wartość bezwzględna
Zadanie 3, arkusz pokazowy 2023, poziom rozszerzony
Dany jest nieskończony ciąg geometryczny \((a_n)\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq1\). Suma trzech początkowych wyrazów ciągu \((a_n)\) jest równa \(7\), a suma \(S\) wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa \(8\).
**Wyznacz wszystkie wartości \(n\), dla których spełniona jest nierówność**
\[\left|\frac{S-S_n}{S_n}\right|<0{,}001,\]
**gdzie \(S_n\) oznacza sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu \((a_n)\). Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
\[n>9,\qquad n\in\mathbb N.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(q\) oznacza iloraz ciągu. Ponieważ suma szeregu istnieje i jest różna od zera, mamy \(a_1\neq0\) oraz \(|q|<1\). Korzystamy ze wzorów na sumę początkowych wyrazów i sumę szeregu:
\[a_1+a_2+a_3=S(1-q^3).\]
Z danych:
\[7=8(1-q^3),\]
\[q^3=\frac18,\qquad q=\frac12.\]
Dla \(q=\frac12\):
\[S=2a_1,\qquad S_n=2a_1\left[1-\left(\frac12\right)^n\right].\]
Stąd
\[\frac{S-S_n}{S_n}=\frac{\left(\frac12\right)^n}{1-\left(\frac12\right)^n}.\]
Mianownik jest dodatni, więc nierówność ma postać
\[\frac{\left(\frac12\right)^n}{1-\left(\frac12\right)^n}<0{,}001.\]
Mnożymy obie strony przez dodatni mianownik i przez \(2^n\):
\[1<0{,}001(2^n-1),\]
\[2^n>1001.\]
Ponieważ \(2^9=512\) i \(2^{10}=1024\), otrzymujemy
\[n>9.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawne wyznaczenie ilorazu ciągu, rozwiązanie nierówności w zbiorze dodatnich liczb naturalnych i wynik \(n>9\)
**3 pkt** – wykorzystanie dodatniości \(1-q^n\) i przekształcenie nierówności do poprawnej nierówności wymiernej z \(q^n\)
**2 pkt** – obliczenie ilorazu ciągu \(q=\frac12\)
**1 pkt** – zastosowanie wzorów na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego i sumę szeregu, np. zapisanie \(a_1+a_2+a_3=S(1-q^3)\)
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; 1. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
VI.5) Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz i na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego. VI.R2) Zdający rozpoznaje zbieżne szeregi geometryczne i oblicza ich sumę.
