Potęgi i pierwiastki
Zadanie 1, arkusz pokazowy 2023, poziom rozszerzony
Dane są liczby
\[a=\log_2 3\qquad\text{oraz}\qquad b=\log_3 7.\]
**Wyraź \(\log_4 49\) za pomocą liczb \(a\) oraz \(b\). Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
\[\log_4 49=ab.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Korzystamy ze wzoru na zamianę podstawy logarytmu oraz ze wzoru na logarytm potęgi:
\[\log_4 49=\frac{\log_3 49}{\log_3 4}=\frac{2\log_3 7}{2\log_3 2}=b\cdot\frac1{\log_3 2}.\]
Ponieważ
\[\frac1{\log_3 2}=\log_2 3=a,\]
to
\[\log_4 49=ab.\]
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – zastosowanie ciągu poprawnych przekształceń i otrzymanie \(\log_4 49=ab\)
**2 pkt** – zastosowanie wzoru na zamianę podstawy do \(\log_3 4\) i przekształcenie \(\log_3 4\) do postaci \(\frac2a\)
**1 pkt** – zastosowanie wzoru na zamianę podstawy i zapisanie \(\log_4 49\) za pomocą logarytmów o podstawie \(3\), np. \(\log_4 49=\frac{\log_3 49}{\log_3 4}\)
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
I. Sprawność rachunkowa; wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych i stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych. III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; 1. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
I.1) Zdający wykonuje działania, w tym logarytmowanie, w zbiorze liczb rzeczywistych.
I.9) Zdający stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem oraz wzory na logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi. I.R1) Zdający stosuje wzór na zamianę podstawy logarytmu.
