Zadanie 4 – matura z matematyki, arkusz pokazowy 2023, poziom rozszerzony

\[m\in\left(-\infty,-\frac{19}{3}\right)\cup(2,11)\cup(11,+\infty).\]

Jednym z rozwiązań równania jest \(x=6\), a więc wszystkie trzy rozwiązania muszą być dodatnie. Trójmian \[(m-2)x^2-4(m+3)x+m+1\] musi mieć dwa różne dodatnie pierwiastki, oba różne od \(6\). Dla \(m=2\) otrzymujemy równanie liniowe \(-20x+3=0\), więc warunki zadania nie są spełnione. Zakładamy \(m\neq2\). Warunek dwóch różnych pierwiastków: \[\Delta=[-4(m+3)]^2-4(m-2)(m+1)=12m^2+100m+152>0,\] co daje \[m\in\left(-\infty,-\frac{19}{3}\right)\cup(-2,+\infty).\] Ze wzorów Viète'a dodatniość iloczynu pierwiastków wymaga \[x_1x_2=\frac{m+1}{m-2}>0,\] czyli \[m\in(-\infty,-1)\cup(2,+\infty).\] Dodatniość sumy pierwiastków wymaga \[x_1+x_2=\frac{4(m+3)}{m-2}>0,\] czyli \[m\in(-\infty,-3)\cup(2,+\infty).\] Aby \(6\) nie było pierwiastkiem trójmianu, musi zachodzić \[36(m-2)-24(m+3)+m+1\neq0,\] \[13m-143\neq0,\qquad m\neq11.\] Część wspólna wszystkich warunków jest równa \[m\in\left(-\infty,-\frac{19}{3}\right)\cup(2,11)\cup(11,+\infty).\]

**5 pkt** – wyznaczenie części wspólnej wszystkich warunków i podanie poprawnego zbioru \(\left(-\infty,-\frac{19}{3}\right)\cup(2,11)\cup(11,+\infty)\) **4 pkt** – rozpatrzenie \(m=2\) oraz poprawne rozwiązanie wszystkich pięciu warunków: równanie kwadratowe, \(\Delta>0\), dodatni iloczyn, dodatnia suma oraz wykluczenie pierwiastka \(6\) **3 pkt** – poprawne rozwiązanie warunków \(\Delta>0\), \(x_1x_2>0\) i \(x_1+x_2>0\) **2 pkt** – rozpatrzenie \(m=2\) i zapisanie pełnego zestawu warunków koniecznych i dostatecznych albo poprawne zapisanie obu warunków Viète'a w zależności od \(m\) **1 pkt** – zauważenie, że trójmian kwadratowy musi mieć dwa różne dodatnie pierwiastki, oba różne od \(6\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; 2. Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. IV. Rozumowanie i argumentacja; 1. Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, i podawanie argumentów uzasadniających ich poprawność. **Wymagania szczegółowe:** III.R3) Zdający stosuje wzory Viète'a dla równań kwadratowych. III.R5) Zdający analizuje równania i nierówności liniowe z parametrami oraz równania i nierówności kwadratowe z parametrami.