Liczby rzeczywiste
Zadanie 2, arkusz pokazowy 2015, poziom rozszerzony
Dany jest nieskończony ciąg geometryczny \((a_n)\) określony wzorem
\[a_n=\frac3{(\sqrt2)^n}\qquad\text{dla }n=1,2,3,\ldots\]
Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa:
**A.** \(\frac1{\sqrt2-1}\)
**B.** \(\frac{\sqrt2}{\sqrt2-1}\)
**C.** \(\frac2{\sqrt2-1}\)
**D.** \(\frac3{\sqrt2-1}\)
Odpowiedź
**D.** \(\frac3{\sqrt2-1}\).
Rozwiązanie krok po kroku
Pierwszy wyraz i iloraz ciągu są równe
\[a_1=\frac3{\sqrt2},\qquad q=\frac1{\sqrt2}.\]
Ponieważ \(|q|<1\), suma szeregu wynosi
\[S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{3/\sqrt2}{1-1/\sqrt2}=\frac3{\sqrt2-1}.\]
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź **D**
**0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
CKE IV. Użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
5.3 R - rozpoznawanie zbieżnych szeregów geometrycznych i obliczanie ich sumy.
