Liczby rzeczywiste
Zadanie 32, maj 2026, poziom podstawowy
Średnia arytmetyczna trzech liczb a, b, c jest równa \(2\). Średnia arytmetyczna czterech liczb d, e, \(f\), \(g\) jest równa \(5\),\(5\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Średnia arytmetyczna siedmiu liczb a, b, c, d, e, \(f\), \(g\) jest równa
A. \(3\),\(5\)
B. \(3\),\(75\)
C. \(4\)
D. \(4\),\(25\)
Podpowiedź
Ze średnich wyznacz osobno sumę pierwszych trzech i kolejnych czterech liczb.
Nasze opracowanie
Kluczowa idea
Średniej łącznej nie obliczamy jako zwykłej średniej dwóch podanych średnich, bo grupy mają różne liczebności.
Rozwiązanie
Z pierwszej informacji \(a+b+c=3\cdot2=6\). Z drugiej \(d+e+f+g=4\cdot5{,}5=22\). Suma siedmiu liczb wynosi więc \(28\), a ich średnia \[\frac{28}{7}=4.\] Poprawna jest odpowiedź C.
Sprawdzenie
Średnia \(4\) leży między \(2\) i \(5{,}5\) oraz jest bliższa drugiej wartości, bo druga grupa jest liczniejsza.
Odpowiedź
C. \(4\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Średnia arytmetyczna to suma liczb podzielona przez ich ilość. Aby połączyć dwie grupy w jedną, trzeba wrócić do sum — z samych średnich nie da się nic policzyć, dopóki nie wiemy, ile liczb kryje się za każdą z nich.
**Krok \(2\).** Zapisujemy pierwszy warunek. Trzy liczby o średniej \(2\):
\[\frac{a+b+c}{3}=2.\]
**Krok \(3\).** Mnożymy obie strony przez \(3\) i dostajemy sumę pierwszej grupy:
\[a+b+c=3\cdot2=6.\]
**Krok \(4\).** Tak samo z drugą grupą — cztery liczby o średniej \(5{,}5\):
\[\frac{d+e+f+g}{4}=5{,}5,\qquad\text{więc}\qquad d+e+f+g=4\cdot5{,}5=22.\]
**Krok \(5\).** Sumujemy obie grupy. Wszystkie siedem liczb daje razem
\[6+22=28.\]
**Krok \(6\).** Liczymy średnią siedmiu liczb:
\[\frac{28}{7}=4.\]
**Uwaga.** Kusi, żeby uśrednić same średnie: \(\frac{2+5{,}5}{2}=3{,}75\), czyli odpowiedź B. To błąd, bo grupy mają różną liczebność — druga grupa jest liczniejsza, więc jej średnia „waży” więcej i wynik przesuwa się w jej stronę.
**Odpowiedź.** C: \(4\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
XII.2) Zdający oblicza średnią arytmetyczną […].
