Liczby rzeczywiste
Zadanie 31, maj 2026, poziom podstawowy
Nauczyciel matematyki po każdym sprawdzianie porównuje wyniki uzyskane przez uczniów dwóch klas: klasy IV A oraz klasy IV B. Na diagramach przedstawiono liczby uczniów, którzy otrzymali poszczególne oceny ze sprawdzianu ze statystyki.
Klasa IV A: \(1,6,3,3,6,1\) uczniów dla ocen odpowiednio od \(1\) do \(6\).
Klasa IV B: \(1,3,6,6,3,1\) uczniów dla ocen odpowiednio od \(1\) do \(6\).
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń.
\(1\). Średnia arytmetyczna ocen klasy IV A jest równa średniej arytmetycznej ocen klasy IV B.
\(2\). Mediana ocen klasy IV A jest równa medianie ocen klasy IV B.
Podpowiedź
W obu klasach jest po \(20\) uczniów; policz sumę ocen i sprawdź pozycje \(10\) oraz \(11\).
Nasze opracowanie
Kluczowa idea
Średnia zależy od ważonej sumy ocen, a mediana od dwóch środkowych obserwacji.
Rozwiązanie
W klasie IV A suma ocen wynosi \(70\), podobnie w klasie IV B, a w każdej klasie jest \(20\) uczniów. Obie średnie są więc równe \(\frac{70}{20}=3{,}5\). W obu uporządkowanych zestawach dziesiąta ocena to \(3\), a jedenasta to \(4\), zatem obie mediany wynoszą \(\frac{3+4}{2}=3{,}5\). Oba stwierdzenia są prawdziwe.
Sprawdzenie
Rozkłady liczebności obu klas są względem siebie symetryczne, co dodatkowo wyjaśnia tę samą średnią \(3{,}5\).
Odpowiedź
**P, P.** Obie klasy mają średnią \(3{,}5\) oraz medianę \(3{,}5\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Dane są przedstawione jako liczebności: dla każdej oceny wiemy, ilu uczniów ją dostało. Średnią liczymy jako sumę wszystkich ocen podzieloną przez liczbę uczniów, przy czym każdą ocenę mnożymy przez jej liczebność. Medianę wyznaczamy, ustawiając wszystkie oceny niemalejąco i biorąc wartość środkową.
**Krok \(2\).** Liczba uczniów w każdej klasie:
\[\text{IV A}:\ 1+6+3+3+6+1=20,\qquad \text{IV B}:\ 1+3+6+6+3+1=20.\]
Obie klasy liczą po \(20\) uczniów.
**Krok \(3\).** Suma ocen w klasie IV A:
\[1\cdot1+2\cdot6+3\cdot3+4\cdot3+5\cdot6+6\cdot1=1+12+9+12+30+6=70,\]
więc średnia wynosi \(\frac{70}{20}=3{,}5\).
**Krok \(4\).** Suma ocen w klasie IV B:
\[1\cdot1+2\cdot3+3\cdot6+4\cdot6+5\cdot3+6\cdot1=1+6+18+24+15+6=70,\]
więc średnia również wynosi \(\frac{70}{20}=3{,}5\). Stwierdzenie \(1\) jest **prawdziwe**.
**Krok \(5\).** Mediana przy \(20\) danych (liczba parzysta) to średnia arytmetyczna oceny \(10\). i \(11\). w uporządkowanym ciągu.
**Krok \(6\).** Klasa IV A po uporządkowaniu: ocena \(1\) zajmuje miejsce \(1\), oceny \(2\) miejsca od \(2\) do \(7\), oceny \(3\) miejsca od \(8\) do \(10\), oceny \(4\) miejsca od \(11\) do \(13\). Zatem \(10\). oceną jest \(3\), a \(11\). jest \(4\), czyli
\[\text{mediana}=\frac{3+4}{2}=3{,}5.\]
**Krok \(7\).** Klasa IV B: ocena \(1\) zajmuje miejsce \(1\), oceny \(2\) miejsca od \(2\) do \(4\), oceny \(3\) miejsca od \(5\) do \(10\), oceny \(4\) miejsca od \(11\) do \(16\). Znowu \(10\). oceną jest \(3\), a \(11\). jest \(4\), więc mediana także wynosi \(3{,}5\). Stwierdzenie \(2\) jest **prawdziwe**.
**Uwaga.** Rozkłady ocen w obu klasach są różne, a mimo to średnia i mediana wychodzą takie same — oba zestawy są swoimi lustrzanymi odbiciami względem wartości \(3{,}5\). Zauważmy też, że mediana nie musi być jedną z wystawionych ocen: przy parzystej liczbie danych może wypaść w połowie drogi między dwiema ocenami.
**Odpowiedź.** \(1\) — prawda, \(2\) — prawda (PP)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. Wykorzystanie i tworzenie informacji - interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel.
**Wymagania szczegółowe:**
XII.2) Zdający oblicza średnią arytmetyczną […], znajduje medianę […].
