Statystyka
Zadanie 30, czerwiec 2025, poziom podstawowy
W tabeli zestawiono liczbę punktów uzyskanych przez \(32\) uczniów pewnej klasy za rozwiązanie jednego z zadań ze sprawdzianu z matematyki.
| Liczba punktów | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) |
|---|---:|---:|---:|---:|---:|---:|
| Liczba uczniów, którzy otrzymali daną liczbę punktów | \(4\) | \(2\) | \(5\) | \(5\) | \(11\) | \(5\) |
Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
\(1\). Wynik niższy od średniej arytmetycznej liczby punktów otrzymanych przez tych uczniów za rozwiązanie tego zadania uzyskało dokładnie ... uczniów tej klasy.
\(2\). Mediana liczby punktów otrzymanych przez tych uczniów za rozwiązanie tego zadania jest równa ... .
\(3\). Dominanta liczby punktów otrzymanych przez tych uczniów za rozwiązanie tego zadania jest równa ... .
Odpowiedź
Średnia wynosi
\[\overline{x}=\frac{4\cdot0+2\cdot1+5\cdot2+5\cdot3+11\cdot4+5\cdot5}{32}=3.\]
Wynik niższy niż \(3\) uzyskało \(4+2+5=11\) uczniów. W uporządkowanym szeregu \(16.\) wynik jest równy \(3\), a \(17.\) wynik jest równy \(4\), więc mediana wynosi \(\frac{3+4}{2}=3{,}5\). Najczęściej występuje wynik \(4\), zatem dominanta jest równa \(4\). Odpowiedzi: \(11\), \(3{,}5\), \(4\).
Rozwiązanie krok po kroku
Dane są pogrupowane w tabelę liczebności; liczba wszystkich uczniów wynosi
\[4+2+5+5+11+5=32,\]
zgodnie z treścią zadania.
**Zdanie 1.** Najpierw potrzebna jest średnia. Liczymy ją jako średnią ważoną, w której wagami są liczebności:
\[\overline{x}=\frac{0\cdot4+1\cdot2+2\cdot5+3\cdot5+4\cdot11+5\cdot5}{32}=\frac{0+2+10+15+44+25}{32}=\frac{96}{32}=3.\]
Wynik niższy od średniej to wynik ostro mniejszy od \(3\), czyli \(0\), \(1\) albo \(2\) punkty. Uczniów z takim wynikiem jest
\[4+2+5=11.\]
**Zdanie 2.** Liczba danych jest parzysta, więc mediana jest średnią arytmetyczną wyrazu \(16.\) i \(17.\) w zestawie uporządkowanym niemalejąco. Liczebności skumulowane wynoszą \(4\), \(6\), \(11\), \(16\), \(27\), \(32\), więc pozycje od \(12\) do \(16\) zajmuje wynik \(3\), a pozycje od \(17\) do \(27\) — wynik \(4\). Stąd
\[\operatorname{Me}=\frac{3+4}{2}=3{,}5.\]
**Zdanie 3.** Dominanta to wartość o największej liczebności. Największa liczebność w tabeli to \(11\) i występuje tylko raz — przy wyniku \(4\) — więc dominanta jest jednoznaczna i równa \(4\).
**Odpowiedź.** Kolejno: \(11\), \(3{,}5\), \(4\).
Klucz i zasady oceniania
1 pkt za każde poprawnie uzupełnione zdanie, maksymalnie 3 pkt. Nie akceptuje się zaokrągleń.
Wymagania podstawy programowej
Wymaganie ogólne: II. Wykorzystanie i tworzenie informacji.
Wymaganie szczegółowe: XII.2) Oblicza średnią arytmetyczną, medianę i dominantę.
