Odczytywanie własności z wykresu
Zadanie 33.1, maj 2026, poziom podstawowy
W chwili \(t=0\) z poziomu ziemi wyrzucono piłeczkę pionowo do góry. Wysokość \(h\), na której znajduje się piłeczka w chwili \(t\), jest określona wzorem
\[h(t)=-4{,}9t^{2}+14{,}7t,\]
gdzie czas \(t\) jest wyrażony w sekundach i zmienia się od \(0\) do chwili pierwszego uderzenia piłeczki o ziemię.
Wyrzucona piłeczka po raz pierwszy uderzy w ziemię w chwili
**A.** \(t=1{,}5\,\mathrm{s}\)
**B.** \(t=2\,\mathrm{s}\)
**C.** \(t=2{,}5\,\mathrm{s}\)
**D.** \(t=3\,\mathrm{s}\)
Podpowiedź
Uderzenie w ziemię następuje wtedy, gdy \(h(t)=0\); wybierz dodatnie miejsce zerowe.
Nasze opracowanie
Kluczowa idea
Wyłączamy \(t\) przed nawias i rozwiązujemy równanie iloczynowe.
Rozwiązanie
Mamy \[h(t)=t(-4{,}9t+14{,}7).\] Miejsca zerowe to \(t=0\) oraz \(-4{,}9t+14{,}7=0\), czyli \(t=3\). Pierwsze miejsce opisuje chwilę wyrzutu, a pierwsze późniejsze uderzenie w ziemię następuje po \(3\,\mathrm{s}\). Poprawna jest odpowiedź D.
Sprawdzenie
Po podstawieniu \(t=3\) otrzymujemy \(h(3)=-4{,}9\cdot9+14{,}7\cdot3=0\).
Odpowiedź
**D.** \(t=3\,\mathrm{s}\), ponieważ \(h(t)=t(-4{,}9t+14{,}7)\) ma dodatnie miejsce zerowe \(t=3\).
Rozwiązanie krok po kroku
Piłeczka uderza w ziemię, gdy jej wysokość jest równa zeru, czyli gdy \(h(t)=0\) dla \(t>0\).
Rozkładamy prawą stronę na czynniki:
\[h(t)=-4{,}9t^2+14{,}7t=t\left(-4{,}9t+14{,}7\right).\]
Iloczyn jest równy zeru, gdy \(t=0\) albo \(-4{,}9t+14{,}7=0\). Drugie równanie daje
\[t=\frac{14{,}7}{4{,}9}=3.\]
Chwila \(t=0\) to moment wyrzutu, więc pierwsze uderzenie o ziemię następuje po \(3\) sekundach.
**Odpowiedź.** D: \(t=3\,\mathrm{s}\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. Wykorzystanie i tworzenie informacji - interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel.
**Wymagania szczegółowe:**
V.11) Zdający wykorzystuje własności funkcji […] kwadratowej do interpretacji zagadnień […] fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym.
