Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 27, maj 2012, poziom podstawowy
Uzasadnij, że jeśli liczby rzeczywiste \(a\), \(b\), \(c\) spełniają nierówności
\[0<a<b<c,\]
to
\[\frac{a+b+c}{3}>\frac{a+b}{2}.\]
Odpowiedź
Nierówność została uzasadniona przy założeniu \(0<a<b<c\).
Rozwiązanie krok po kroku
Mnożymy obie strony przez \(6>0\), co nie zmienia kierunku nierówności:
\[2(a+b+c)>3(a+b).\]
Po uporządkowaniu
\[2a+2b+2c>3a+3b,\qquad 2c>a+b.\]
Z założenia \(a<c\) oraz \(b<c\), więc po dodaniu tych nierówności stronami
\[a+b<c+c=2c,\]
czyli \(2c>a+b\).
Wszystkie przekształcenia były równoważne, zatem wyjściowa nierówność jest prawdziwa.
**Odpowiedź.** \(\dfrac{a+b+c}{3}>\dfrac{a+b}{2}\) dla \(0<a<b<c\), co należało uzasadnić.
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: przekształcenie tezy do równoważnej postaci 2c > a + b lub równoważny poprawny etap.
2 pkt: kompletny dowód wykorzystujący założenia a < c i b < c.
Wymagania podstawy programowej
Rozumowanie i argumentacja. Uzasadnienie prawdziwości nierówności algebraicznej (V.2.b).
