Równania i nierówności
Zadanie 28, maj 2012, poziom podstawowy
Liczby \(x_1=-4\) i \(x_2=3\) są pierwiastkami wielomianu
\[W(x)=x^3+4x^2-9x-36.\]
Oblicz trzeci pierwiastek tego wielomianu.
Odpowiedź
W(x) = \(x^{3}\) + \(4\)\(x^{2}\) − \(9x\) − \(36\) = \(x^{2}\)(x + \(4\)) − \(9\)(x + \(4\)) = (x + \(4\))(\(x^{2}\) − \(9\)) = (x + \(4\))(x − \(3\))(x + \(3\)). Trzecim pierwiastkiem jest x = −\(3\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** pkt: poprawne zapisanie wielomianu w postaci iloczynu z podanymi pierwiastkami albo wykonanie poprawnego dzielenia; sama poprawna odpowiedź bez obliczeń także \(1\) pkt.
**Krok \(2\).** pkt: bezbłędne obliczenie trzeciego pierwiastka x = −\(3\).
**Odpowiedź.** W(x) = \(x^{3}\) + \(4\)\(x^{2}\) − \(9x\) − \(36\) = \(x^{2}\)(x + \(4\)) − \(9\)(x + \(4\)) = (x + \(4\))(\(x^{2}\) − \(9\)) = (x + \(4\))(x − \(3\))(x + \(3\)). Trzecim pierwiastkiem jest x = −\(3\).
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: poprawne zapisanie wielomianu w postaci iloczynu z podanymi pierwiastkami albo wykonanie poprawnego dzielenia; sama poprawna odpowiedź bez obliczeń także 1 pkt.
2 pkt: bezbłędne obliczenie trzeciego pierwiastka x = −3.
Wymagania podstawy programowej
Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Rozwiązanie równania wielomianowego metodą rozkładu na czynniki (II.3.d).
