Równania i nierówności
Zadanie 10, maj 2009, poziom podstawowy
Tabela przedstawia wyniki części teoretycznej egzaminu na prawo jazdy. Zdający uzyskał wynik pozytywny, jeżeli popełnił co najwyżej dwa błędy.
| liczba błędów | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) | \(7\) | \(8\) |
|---|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:|
| liczba zdających | \(8\) | \(5\) | \(8\) | \(5\) | \(2\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(1\) |
a) Oblicz średnią arytmetyczną liczby błędów popełnionych przez zdających ten egzamin. Wynik podaj w zaokrągleniu do całości.
b) Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród dwóch losowo wybranych zdających tylko jeden uzyskał wynik pozytywny. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.
Odpowiedź
a) Średnia wynosi \(\frac{57}{30}=1{,}9\), czyli w zaokrągleniu do całości \(2\) błędy. b) \(P=\frac{63}{145}\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Punkt a) to średnia z danych zapisanych w tabeli liczebności: każdą liczbę błędów mnożymy przez liczbę osób, które tyle błędów popełniły, sumujemy i dzielimy przez liczbę wszystkich zdających. Punkt b) to klasyczny schemat „losujemy dwie osoby z grupy podzielonej na dwie kategorie” — najwygodniej użyć kombinacji: wszystkich losowań jest \(\binom{30}{2}\), a sprzyjających tyle, ile jest par złożonych z jednej osoby z wynikiem pozytywnym i jednej z negatywnym.
**Krok \(2\).** Liczymy, ilu było zdających — sumujemy drugi wiersz tabeli:
\[8+5+8+5+2+1+0+0+1=30.\]
**Krok \(3\).** Liczymy łączną liczbę popełnionych błędów — każdą liczbę błędów mnożymy przez liczbę osób:
\[0\cdot8+1\cdot5+2\cdot8+3\cdot5+4\cdot2+5\cdot1+6\cdot0+7\cdot0+8\cdot1=0+5+16+15+8+5+0+0+8=57.\]
**Krok \(4\).** Średnia arytmetyczna:
\[\bar{x}=\frac{57}{30}=1{,}9\approx2.\]
**Krok \(5\).** Przechodzimy do b). Wynik pozytywny to „co najwyżej dwa błędy”, czyli \(0\), \(1\) albo \(2\) błędy. Takich osób jest
\[8+5+8=21,\]
a pozostałych, czyli z wynikiem negatywnym, \(30-21=9\).
**Krok \(6\).** Wybieramy dwie osoby spośród trzydziestu, a kolejność wyboru nie ma znaczenia, więc
\[\left|\Omega\right|=\binom{30}{2}=\frac{30\cdot29}{2}=435.\]
**Krok \(7\).** Niech \(A\) będzie zdarzeniem: dokładnie jedna z wylosowanych osób ma wynik pozytywny (a więc druga ma negatywny). Taką parę tworzymy, wybierając jedną osobę spośród \(21\) i jedną spośród \(9\):
\[\left|A\right|=21\cdot9=189.\]
**Krok \(8\).** Liczymy prawdopodobieństwo z klasycznej definicji i skracamy ułamek przez \(3\):
\[P(A)=\frac{\left|A\right|}{\left|\Omega\right|}=\frac{189}{435}=\frac{63}{145}.\]
Ułamek \(\frac{63}{145}\) jest nieskracalny, bo \(63=3^2\cdot7\), a \(145=5\cdot29\) — nie mają wspólnego dzielnika większego od \(1\).
**Uwaga.** Sformułowanie „co najwyżej dwa błędy” obejmuje także \(0\) i \(1\) błąd; pominięcie kolumny z zerem błędów to tu najczęstszy błąd. Uważaj też na zwrot „tylko jeden uzyskał wynik pozytywny” — znaczy on: dokładnie jeden, więc drugi musi mieć wynik negatywny. Nie liczymy par, w których obie osoby zdały.
**Odpowiedź.** a) Średnia wynosi \(\frac{57}{30}=1{,}9\), czyli w zaokrągleniu do całości \(2\) błędy. b) \(P=\frac{63}{145}\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
Klucz CKE dołączony w tym miejscu przez ekstrakcję pochodzi z arkusza **rozszerzonego** z tej samej sesji i nie dotyczy tego zadania — opisuje inny problem i prowadzi do innego wyniku. Został usunięty, bo klucz od cudzego zadania jest gorszy niż jego brak: uczeń sprawdzający się nim uznałby poprawne rozwiązanie za błędne. Właściwego klucza do tego zadania brak w materiale źródłowym. Odpowiedź i rozwiązanie w panelach powyżej zostały wyznaczone rachunkiem z treści zadania.
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
