Równania i nierówności
Zadanie 9, maj 2009, poziom podstawowy
Punkty \(B=(0,10)\) i \(O=(0,0)\) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego \(OAB\), w którym \(|\angle OAB|=90^\circ\). Przyprostokątna \(OA\) zawiera się w prostej o równaniu \(y=\frac12x\). Oblicz współrzędne punktu \(A\) i długość przyprostokątnej \(OA\).
Odpowiedź
\(A=(4,2)\) oraz \(|OA|=2\sqrt5\).
Rozwiązanie krok po kroku
Punkt \(A\) leży na prostej \(y=\tfrac12x\), więc \(A=(2t,t)\) dla pewnego \(t\).
Kąt przy wierzchołku \(A\) jest prosty, więc wektory \(\vec{AO}\) i \(\vec{AB}\)
są prostopadłe:
\[\vec{AO}=[-2t,-t],\qquad \vec{AB}=[-2t,\,10-t].\]
Iloczyn skalarny musi być równy zeru:
\[4t^{2}-t(10-t)=0,\qquad 5t^{2}-10t=0,\qquad 5t(t-2)=0.\]
Wartość \(t=0\) odrzucamy, bo wtedy \(A=O\) i trójkąt nie istnieje. Zostaje \(t=2\),
czyli \(A=(4,2)\).
Długość przyprostokątnej:
\[|OA|=\sqrt{4^{2}+2^{2}}=\sqrt{20}=2\sqrt5.\]
**Odpowiedź.** \(A=(4,2)\), \(|OA|=2\sqrt5\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
Właściwego klucza do tego zadania brak w materiale źródłowym.
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
