Równania i nierówności
Zadanie 11, maj 2009, poziom podstawowy
Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu na płaszczyznę jest prostokątem. Przekątna tego prostokąta ma długość \(12\) i tworzy z bokiem, którego długość jest równa wysokości walca, kąt o mierze \(30^\circ\).
a) Oblicz pole powierzchni bocznej tego walca.
b) Sprawdź, czy objętość tego walca jest większa od \(18\sqrt3\). Odpowiedź uzasadnij.
Odpowiedź
a) \(P_{b}=36\sqrt3\). b) Nie: \(V=\dfrac{54\sqrt3}{\pi}\), a ponieważ \(\pi\gt 3\), to \(\dfrac{54}{\pi}\lt 18\), czyli \(V\lt 18\sqrt3\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Rozpoznajemy kluczową własność walca: jego powierzchnia boczna po rozwinięciu na płaszczyznę jest prostokątem, którego jeden bok to WYSOKOŚĆ walca \(H\), a drugi to OBWÓD podstawy, czyli \(2\pi r\). Dane w zadaniu (przekątna \(12\) i kąt \(30^\circ\) przy boku równym wysokości) opisują trójkąt prostokątny wewnątrz tego prostokąta, więc długości boków odczytamy z funkcji trygonometrycznych.
**Krok \(2\).** Przekątna z bokami tworzy trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej \(12\). Kąt \(30^\circ\) leży przy boku o długości \(H\), więc \(H\) jest przyprostokątną PRZYLEGŁĄ do tego kąta:
\[H=12\cos30^\circ=12\cdot\frac{\sqrt3}{2}=6\sqrt3.\]
**Krok \(3\).** Drugi bok prostokąta, czyli obwód podstawy, leży NAPRZECIW kąta \(30^\circ\):
\[2\pi r=12\sin30^\circ=12\cdot\frac12=6.\]
**Krok \(4\).** Podpunkt a): pole powierzchni bocznej to po prostu pole tego prostokąta:
\[P_b=H\cdot2\pi r=6\sqrt3\cdot6=36\sqrt3.\]
**Krok \(5\).** Podpunkt b): najpierw wyznaczamy promień z równania \(2\pi r=6\):
\[r=\frac{6}{2\pi}=\frac{3}{\pi}.\]
**Krok \(6\).** Obliczamy objętość walca ze wzoru \(V=\pi r^2H\):
\[V=\pi\cdot\left(\frac{3}{\pi}\right)^2\cdot6\sqrt3=\pi\cdot\frac{9}{\pi^2}\cdot6\sqrt3=\frac{54\sqrt3}{\pi}.\]
**Krok \(7\).** Sprawdzamy, czy \(V\gt18\sqrt3\). Zapisujemy przypuszczaną nierówność i upraszczamy ją (dzielimy obie strony przez \(\sqrt3\gt0\)):
\[\frac{54\sqrt3}{\pi}\gt18\sqrt3\quad\Longleftrightarrow\quad \frac{54}{\pi}\gt18\quad\Longleftrightarrow\quad 54\gt18\pi\quad\Longleftrightarrow\quad 3\gt\pi.\]
**Krok \(8\).** Ale \(\pi\approx3{,}14\), czyli \(\pi\gt3\). Ostatnia nierówność jest FAŁSZYWA, a skoro wszystkie przejścia były równoważne, fałszywa jest też nierówność wyjściowa. Zatem \(V\lt18\sqrt3\) — objętość NIE jest większa od \(18\sqrt3\). (Dla kontroli: \(V=\frac{54\sqrt3}{\pi}\approx29{,}8\), a \(18\sqrt3\approx31{,}2\).)
**Uwaga.** Najgroźniejsza pułapka to pomylenie boków. Kąt \(30^\circ\) jest opisany jako kąt między przekątną a bokiem RÓWNYM WYSOKOŚCI walca, więc do wysokości używamy cosinusa, a do obwodu podstawy sinusa. Zamiana tych dwóch funkcji miejscami daje zupełnie inny (błędny) wynik. Druga rzecz: w podpunkcie b) trzeba UZASADNIĆ odpowiedź — samo podanie przybliżenia liczbowego jest słabsze niż sprowadzenie porównania do nierówności \(\pi\gt3\).
**Odpowiedź.** a) \(P_{b}=36\sqrt3\). b) Nie: \(V=\dfrac{54\sqrt3}{\pi}\), a ponieważ \(\pi\gt 3\), to \(\dfrac{54}{\pi}\lt 18\), czyli \(V\lt 18\sqrt3\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
Klucz CKE dołączony w tym miejscu przez ekstrakcję pochodzi z arkusza **rozszerzonego** z tej samej sesji i nie dotyczy tego zadania — opisuje inny problem i prowadzi do innego wyniku. Został usunięty, bo klucz od cudzego zadania jest gorszy niż jego brak: uczeń sprawdzający się nim uznałby poprawne rozwiązanie za błędne. Właściwego klucza do tego zadania brak w materiale źródłowym. Odpowiedź i rozwiązanie w panelach powyżej zostały wyznaczone rachunkiem z treści zadania.
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
