Zadanie 26 – matura z matematyki czerwiec 2012, poziom podstawowy

\(15\) studentów

Niech \(n\) oznacza liczbę studentów w grupie. Ze średniej wieku studentów wynika, że suma ich lat wynosi \(23n\). Po dołączeniu opiekuna osób jest \(n+1\), a suma lat rośnie o \(39\). Z warunku o nowej średniej \[\frac{23n+39}{n+1}=24.\] Mnożymy obie strony przez \(n+1\): \[23n+39=24n+24.\] Stąd \[n=15.\] Sprawdzenie: \(\frac{23\cdot15+39}{16}=\frac{345+39}{16}=\frac{384}{16}=24\). **Odpowiedź.** W grupie jest \(15\) studentów.

1 pkt: zapis średniej (23x+39)/(x+1). 2 pkt: x=15.

Zadania 26. (0–2) Modelowanie matematyczne Zastosowanie definicję średniej arytmetycznej do wyznaczenia liczby elementów zbioru danych (III.10.a) I sposób rozwiązania Niech x oznacza liczbę studentów w danej grupie. Wtedy łączna liczba lat studentów w danej grupie wynosi 23x , zaś łączna liczba lat studentów i opiekuna to 23x  39 . Zatem średnia 23x  39 wieku studentów wraz z opiekunem jest równa: . x  1 23x  39 Otrzymujemy równanie  24 stąd 23x  39  24  x  1 , a więc x  15 . x  1 Odpowiedź: W tej grupie jest 15 studentów. Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt 23x  39 gdy zapisze nową średnią wieku studentów wraz z opiekunem: i na tym x 1 poprzestanie lub dalej popełni błędy. Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt gdy obliczy liczbę studentów w grupie: 15 osób. II sposób rozwiązania Zapisujemy zależności pomiędzy liczbą studentów danej grupy, a łączną liczbą lat wszystkich studentów. Niech x oznacza liczbę studentów w grupie, zaś S łączną liczbę lat studentów.  S  23   x Zapisujemy układ równań:  S  39   24  x  1 S  23x  Rozwiązujemy układ równań  23x  39  24   x  1 23x  39  24  x  1 x  15 Odpowiedź: W tej grupie jest 15 studentów. Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt  S  23   x gdy zapisze układ równań opisujący średnie wieku, np.  S  39   24  x  1 gdzie x jest liczbą studentów w danej grupie, zaś S jest łączną liczbą lat studentów, i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy. Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt gdy obliczy liczbę studentów w danej grupie: 15 studentów. Egzamin maturalny z matematyki 7 Kryteria oceniania odpowiedzi – poziom podstawowy III sposób rozwiązania Różnicę wieku opiekuna i średniej wieku studentów rozdzielamy między x studentów i jednego opiekuna.  Obliczamy różnicę wieku opiekuna i średniej wieku studentów 39  23  16 .  Ponieważ średnia wieku wzrosła o 1 rok, więc te 16 lat rozdzielamy pomiędzy studentów i opiekuna, każdemu dodając 1 rok.  Zatem 16  x 1  1 , stąd x  15 .  Zapisujemy odpowiedź: W tej grupie jest 15 studentów. Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt gdy obliczy różnicę lat opiekuna i średniej wieku studentów 39  23  16 i słownie zapisze sposób rozumowania, np.: Ponieważ średnia lat wzrosła do 24 lat, więc każdemu studentowi z tych 16 lat dodajemy 1 rok oraz 1 rok dla opiekuna i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy. Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt gdy obliczy liczbę studentów w danej grupie: 15 studentów.