Zadanie 25 – matura z matematyki czerwiec 2012, poziom podstawowy

\(x\in(-2,\ 5)\)

**Krok \(1\).** Po lewej stronie stoi trójmian kwadratowy, więc mamy nierówność kwadratową. Schemat jest zawsze ten sam: przyrównujemy trójmian do zera, znajdujemy miejsca zerowe, szkicujemy parabolę i z rysunku odczytujemy, gdzie wartości są ujemne. **Krok \(2\).** Rozwiązujemy równanie \(x^2-3x-10=0\). Tu \(a=1\), \(b=-3\), \(c=-10\), więc \[\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot 1\cdot(-10)=9+40=49,\qquad \sqrt{\Delta}=7.\] **Krok \(3\).** Miejsca zerowe: \[x_1=\frac{3-7}{2}=-2,\qquad x_2=\frac{3+7}{2}=5.\] **Krok \(4\).** Ponieważ \(a=1\gt 0\), parabola ma ramiona skierowane w górę. Taka parabola leży **poniżej** osi \(OX\) dokładnie między swoimi miejscami zerowymi. **Krok \(5\).** Nierówność \(x^2-3x-10\lt 0\) pyta właśnie o te \(x\), dla których wartość jest ujemna, czyli \[x\in(-2,\ 5).\] **Uwaga.** Nierówność jest ostra (\(\lt\), a nie \(\le\)), więc końce przedziału do niego **nie należą** - piszemy nawiasy okrągłe. Dla \(x=-2\) i \(x=5\) trójmian jest równy zeru, a zero nie jest mniejsze od zera. **Odpowiedź.** \(x\in(-2,\ 5)\)

1 pkt: miejsca zerowe −2 i 5 albo rozkład (x+2)(x−5)<0. 2 pkt: poprawny otwarty przedział.

Zadanie 25. (0–2) Wykorzystanie Rozwiązanie nierówności kwadratowej (II.3.a) i interpretowanie reprezentacji Zdający otrzymuje ........................................................................................................... 1 pkt gdy:  prawidłowo obliczy pierwiastki trójmianu kwadratowego x  2, x  5 i na tym 1 2 poprzestanie lub dalej popełni błędy, albo  rozłoży trójmian kwadratowy x2  3x 10 na czynniki liniowe i zapisze nierówność  x  2  x  5  0 i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy, albo  popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu pierwiastków trójmianu kwadratowego i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność, np., x  2, x  5 , 1 2 stąd x  5, 2 , albo 3 7  doprowadzi nierówność do postaci x   (na przykład z postaci 2 2 2 2  3  49  3  49 3 7 x    0 otrzymuje x   , a następnie x   )      2  4  2  4 2 2 i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy. Zdający otrzymuje ........................................................................................................... 2 pkt gdy:  poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci: 2  x  5 lub  2, 5 lub x  2, 5 albo  sporządzi ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci: x  2 , x  5 albo  poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów: x -2 5 Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki 1. Jeśli zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu x  2 , x  5 i zapisze np.: x   2, 5 , popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu jednego z pierwiastków, to za takie rozwiązanie otrzymuje 2 punkty. 6 Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi – poziom podstawowy