Procenty i oprocentowanie
Zadanie 29, zbiór zadań z informatora 2023, poziom rozszerzony
Pan Nowak często gra z synem w szachy. Obliczył, że \(60\%\) rozegranych partii wygrywa jego syn.
**Oblicz, ile partii szachów musi rozegrać z synem pan Nowak, aby prawdopodobieństwo wygrania przez ojca przynajmniej jednej partii w całej rozgrywce było większe od \(0{,}95\).**
Odpowiedź
Pan Nowak musi rozegrać co najmniej \(6\) partii.
Rozwiązanie krok po kroku
Prawdopodobieństwo wygranej ojca w jednej partii wynosi \(0{,}4\), a przegranej \(0{,}6\). Dla \(n\) niezależnych partii prawdopodobieństwo, że ojciec nie wygra żadnej, jest równe \((0{,}6)^n\). Zatem
\[1-(0{,}6)^n>0{,}95,\]
czyli
\[(0{,}6)^n<0{,}05.\]
Ponieważ \((0{,}6)^5=0{,}07776>0{,}05\), natomiast \((0{,}6)^6=0{,}046656<0{,}05\), najmniejszą możliwą liczbą partii jest \(n=6\).
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – rozwiązanie nierówności \(1-(0{,}6)^n>0{,}95\) i odpowiedź \(n\ge6\)
**3 pkt** – zastosowanie schematu Bernoulliego i zapisanie tej nierówności
**2 pkt** – zapisanie \(1-P(S_n^0)>0{,}95\)
**1 pkt** – obliczenie prawdopodobieństw sukcesu \(0{,}4\) i porażki \(0{,}6\)
**0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III.2 dobieranie i tworzenie modeli matematycznych dla problemów praktycznych i teoretycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
XII.2R stosowanie schematu Bernoulliego.
