Rachunek prawdopodobieństwa
Zadanie 28, zbiór zadań z informatora 2023, poziom rozszerzony
Niech \(n\) będzie ustaloną dodatnią liczbą naturalną. Ze zbioru
\[\mathbb M=\{1,2,3,\ldots,3n+1\}\]
losujemy jednocześnie trzy liczby. Zdarzenie \(A\) polega na wylosowaniu trzech liczb, których suma przy dzieleniu przez \(3\) daje resztę \(1\).
**Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\).**
Odpowiedź
\[P(A)=\frac{3n^2-1}{(3n+1)(3n-1)}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Liczba wszystkich jednakowo prawdopodobnych wyników wynosi
\[|\Omega|=\binom{3n+1}{3}=\frac{n(3n+1)(3n-1)}{2}.\]
W zbiorze \(\mathbb M\) jest \(n\) liczb dających resztę \(0\), \(n+1\) liczb dających resztę \(1\) i \(n\) liczb dających resztę \(2\) przy dzieleniu przez \(3\). Suma trzech liczb daje resztę \(1\) w dokładnie trzech układach reszt: \((0,0,1)\), \((1,1,2)\) oraz \((2,2,0)\). Zatem
\[|A|=\binom n2\binom{n+1}{1}+\binom{n+1}{2}\binom n1+\binom n2\binom n1=\frac{n(3n^2-1)}{2}.\]
Wobec tego
\[P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{3n^2-1}{(3n+1)(3n-1)}.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawna metoda wyznaczenia prawdopodobieństwa i prawidłowy wynik
**3 pkt** – rozpatrzenie wszystkich trzech układów reszt i zapisanie pełnego wzoru na \(|A|\)
**2 pkt** – poprawne rozpatrzenie dwóch z trzech możliwych układów reszt
**1 pkt** – wyznaczenie liczby wszystkich trójelementowych podzbiorów, \(\binom{3n+1}{3}\)
**0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III.2 dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów.
**Wymagania szczegółowe:**
XI.1R, XI.2R i XII.1 stosowanie reguł mnożenia i dodawania, kombinacji i symbolu Newtona oraz obliczanie prawdopodobieństwa w modelu klasycznym.
