Rachunek prawdopodobieństwa
Zadanie 2, maj 2023, poziom rozszerzony
Tomek i Romek rozgrywają pięć partii szachów. Prawdopodobieństwo wygrania pojedynczej partii przez Tomka jest równe \(\frac14\).
**Oblicz prawdopodobieństwo tego, że Tomek wygra co najmniej cztery partie. Wynik podaj w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego. Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
\[P=\frac1{64}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
W pojedynczej partii prawdopodobieństwo wygranej Tomka wynosi
\[p=\frac14,\]
a prawdopodobieństwo niewygrania
\[q=\frac34.\]
Tomek ma wygrać dokładnie cztery albo dokładnie pięć partii. Korzystamy ze schematu Bernoullego:
\[P=\binom54\left(\frac14\right)^4\left(\frac34\right)+\binom55\left(\frac14\right)^5.\]
Zatem
\[P=5\cdot\frac1{256}\cdot\frac34+\frac1{1024}=\frac{15}{1024}+\frac1{1024}=\frac{16}{1024}=\frac1{64}.\]
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i wynik \(\frac1{64}\)
**2 pkt** – zapisanie poprawnego prawdopodobieństwa uzyskania co najmniej czterech sukcesów w pięciu próbach Bernoullego
**1 pkt** – zapisanie \(p=\frac14\), \(q=\frac34\), albo wyrażenia \(p^5+5p^4q\), albo poprawnego fragmentu drzewa
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; 2. Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
XII.R2) Zdający stosuje schemat Bernoullego.
