Liczby rzeczywiste
Zadanie 11, arkusz pokazowy 2023, poziom rozszerzony
Egzamin składa się z \(15\) zadań zamkniętych. Do każdego zadania podano cztery odpowiedzi, z których tylko jedna okazuje się poprawna. Zdający zalicza egzamin, jeśli udzieli poprawnych odpowiedzi w co najmniej \(11\) zadaniach. Pewien student przystąpił nieprzygotowany do egzaminu i w każdym zadaniu wybierał losowo odpowiedź.
Przyjmij, że w każdym zadaniu wybór każdej z odpowiedzi przez studenta jest równie prawdopodobny.
**Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że ten student zaliczył egzamin. Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
\[P=\frac{123841}{4^{15}}=\frac{123841}{1073741824}\approx0{,}00012.\]
Rozwiązanie krok po kroku
W każdym zadaniu prawdopodobieństwo sukcesu wynosi
\[p=\frac14,\]
a prawdopodobieństwo porażki
\[q=\frac34.\]
Student zalicza egzamin, gdy uzyska \(11\), \(12\), \(13\), \(14\) albo \(15\) sukcesów. Ze schematu Bernoullego:
\[P=\sum_{k=11}^{15}\binom{15}{k}\left(\frac14\right)^k\left(\frac34\right)^{15-k}.\]
Wyłączamy \(\left(\frac14\right)^{15}\):
\[P=\left(\frac14\right)^{15}\left[\binom{15}{11}3^4+\binom{15}{12}3^3+\binom{15}{13}3^2+\binom{15}{14}3+1\right].\]
Zatem
\[P=\left(\frac14\right)^{15}(1365\cdot81+455\cdot27+105\cdot9+15\cdot3+1),\]
\[P=\frac{123841}{4^{15}}\approx0{,}00012.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawna metoda i wynik \(\frac{123841}{4^{15}}\)
**3 pkt** – poprawne zastosowanie wzoru Bernoullego dla \(k\) sukcesów i addytywności prawdopodobieństwa dla zdarzeń parami rozłącznych
**2 pkt** – zapisanie zdarzenia zaliczenia jako sumy zdarzeń odpowiadających \(11\), \(12\), \(13\), \(14\) i \(15\) sukcesom
**1 pkt** – obliczenie prawdopodobieństwa sukcesu \(p=\frac14\) i porażki \(q=\frac34\)
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; 2. Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
XII.R2) Zdający stosuje schemat Bernoullego.
