Rachunek prawdopodobieństwa
Zadanie 3, maj 2024, poziom rozszerzony
W pewnym zakładzie mleczarskim śmietana produkowana jest w \(200\)-gramowych opakowaniach. Prawdopodobieństwo zdarzenia, że w losowo wybranym opakowaniu śmietana zawiera mniej niż \(36\%\) tłuszczu, jest równe \(0{,}01\). Kontroli poddajemy \(10\) losowo wybranych opakowań ze śmietaną.
**Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wśród opakowań poddanych tej kontroli będzie co najwyżej jedno opakowanie ze śmietaną, która zawiera mniej niż \(36\%\) tłuszczu. Wynik zapisz w postaci ułamka dziesiętnego w zaokrągleniu do części tysięcznych. Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
\[P\approx0{,}996.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Sukcesem w pojedynczej próbie jest wylosowanie opakowania zawierającego mniej niż \(36\%\) tłuszczu. Mamy
\[p=0{,}01,\qquad q=1-p=0{,}99.\]
Szukane zdarzenie obejmuje zero albo jeden sukces w \(10\) próbach Bernoulliego, zatem
\[P=\binom{10}{0}(0{,}01)^0(0{,}99)^{10}+\binom{10}{1}(0{,}01)^1(0{,}99)^9.\]
Po uproszczeniu
\[P=(0{,}99)^{10}+10\cdot0{,}01\cdot(0{,}99)^9=(0{,}99)^9\cdot1{,}09\approx0{,}995734.\]
Po zaokrągleniu do części tysięcznych otrzymujemy \(P\approx0{,}996\).
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(0{,}996\)
**2 pkt** – zapisanie poprawnego prawdopodobieństwa uzyskania co najwyżej jednego sukcesu w dziesięciu próbach Bernoulliego
**1 pkt** – zapisanie prawdopodobieństw sukcesu i porażki w pojedynczej próbie: \(p=0{,}01\), \(q=0{,}99\), albo równoważny poprawny istotny krok
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; 2. Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych; I. Sprawność rachunkowa.
**Wymagania szczegółowe:**
XII.R2) Zdający stosuje schemat Bernoulliego.
