Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 4, próbna grudzień 2022, poziom rozszerzony
Maszyna napełnia torebki herbatą. Każda torebka ma zostać napełniona \(200\,\mathrm{g}\) herbaty. Torebkę, która zawiera mniej niż \(200\,\mathrm{g}\) herbaty, nazywamy torebką z niedowagą. Prawdopodobieństwo tego, że pojedyncza torebka napełniona przez tę maszynę jest z niedowagą, jest równe \(0{,}1\). Kontroli poddano masę herbaty w torebkach napełnianych przez tę maszynę danego dnia. Do kontroli wybrano losowo \(20\) torebek.
**Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wśród tych \(20\) losowo wybranych torebek znajdą się co najwyżej dwie torebki z niedowagą. Zapisz obliczenia. Wynik zapisz w zaokrągleniu do drugiego miejsca po przecinku.**
Odpowiedź
\[P(A)\approx0{,}68.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Kontrolę jednej torebki traktujemy jako próbę Bernoulliego. Sukcesem jest torebka z niedowagą, więc \(p=0{,}1\), a \(q=0{,}9\). Zdarzenie \(A\) oznacza uzyskanie \(0\), \(1\) albo \(2\) sukcesów w \(20\) próbach. Zatem
\[P(A)=\binom{20}{0}(0{,}1)^0(0{,}9)^{20}+\binom{20}{1}(0{,}1)^1(0{,}9)^{19}+\binom{20}{2}(0{,}1)^2(0{,}9)^{18}.\]
Po wyłączeniu wspólnego czynnika:
\[P(A)=(0{,}9)^{18}\left((0{,}9)^2+20\cdot0{,}1\cdot0{,}9+190\cdot0{,}01\right)=(0{,}9)^{18}\cdot4{,}51\approx0{,}68.\]
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – poprawna metoda i wynik \(P(A)\approx0{,}68\)
**2 pkt** – poprawne zastosowanie schematu Bernoulliego i zapisanie sumy prawdopodobieństw dla \(k=0,1,2\)
**1 pkt** – określenie sukcesu i porażki oraz prawdopodobieństw \(p=0{,}1\), \(q=0{,}9\)
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
I i III sprawność rachunkowa oraz dobieranie i tworzenie modeli matematycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
XII.R2 stosowanie schematu Bernoulliego.
