Schemat Bernoulliego — zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku

\[P(A)=0{,}98^{10}+\binom{10}{1}\cdot0{,}02\cdot0{,}98^{9}=0{,}983822\ldots\] Po zaokrągleniu do części tysięcznych: \(P(A)=0{,}984\).

Przykładowe pełne rozwiązanie Sukcesem w pojedynczej próbie Bernoullego jest uszkodzenie pralki podczas transportu. Określamy prawdopodobieństwo sukcesu (p) i porażki (q) w pojedynczej próbie Bernoullego: p = \(0\),\(02\) , q = \(1\) − p = \(0\),\(98\). Niech Sk oznacza zdarzenie polegające na tym, że wśród dziesięciu wysłanych przez \(10\) sklep pralek dokładnie k pralek uległo uszkodzeniu podczas transportu (k ∈ {\(0\), \(1\)}). Obliczamy prawdopodobieństwo P zdarzenia polegającego na tym, że wśród dziesięciu wysłanych pralek uszkodzeniu podczas transportu ulegnie co najwyżej jedna: \(10\) \(10\) P = P(\(S_{0}\) ) + P(\(S_{1}\) ) = ( ) ⋅ (\(0\),\(02\))\(0\) ⋅ (\(0\),\(98\))\(10\) + ( ) ⋅ (\(0\),\(02\))\(1\) ⋅ (\(0\),\(98\))\(9 = 10\) \(10\) \(0\) \(1\) = (\(0\),\(98\))\(9\) ⋅ (\(0,98 + 10 ⋅ 0,02\)) = (\(0\),\(98\))\(9 ⋅ 1,18\) ≈ \(0\),\(984\)

**3 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(0{,}984\) **2 pkt** – zapisanie poprawnego prawdopodobieństwa uzyskania co najwyżej jednego sukcesu w dziesięciu próbach Bernoulliego, np. \[P=\binom{10}{0}\cdot0{,}98^{10}+\binom{10}{1}\cdot0{,}02^{1}\cdot0{,}98^{9}\] albo \[P=0{,}98^{10}+10\cdot0{,}02\cdot0{,}98^{9}\] **1 pkt** – zapisanie prawdopodobieństwa sukcesu \(p=0{,}02\) i porażki \(q=0{,}98\) w pojedynczej próbie, ALBO zapisanie prawdopodobieństwa w postaci \(q^{10}+10p\cdot q^{9}\), ALBO przedstawienie fragmentu drzewa zawierającego wszystkie istotne gałęzie **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

Wymagania określone w podstawie programowej1 **Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. I. Sprawność rachunkowa. **Wymagania szczegółowe:** XII.R2) Zdający stosuje schemat Bernoullego.

\[P\approx0{,}996.\]

Sukcesem w pojedynczej próbie jest wylosowanie opakowania zawierającego mniej niż \(36\%\) tłuszczu. Mamy \[p=0{,}01,\qquad q=1-p=0{,}99.\] Szukane zdarzenie obejmuje zero albo jeden sukces w \(10\) próbach Bernoulliego, zatem \[P=\binom{10}{0}(0{,}01)^0(0{,}99)^{10}+\binom{10}{1}(0{,}01)^1(0{,}99)^9.\] Po uproszczeniu \[P=(0{,}99)^{10}+10\cdot0{,}01\cdot(0{,}99)^9=(0{,}99)^9\cdot1{,}09\approx0{,}995734.\] Po zaokrągleniu do części tysięcznych otrzymujemy \(P\approx0{,}996\).

**3 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(0{,}996\) **2 pkt** – zapisanie poprawnego prawdopodobieństwa uzyskania co najwyżej jednego sukcesu w dziesięciu próbach Bernoulliego **1 pkt** – zapisanie prawdopodobieństw sukcesu i porażki w pojedynczej próbie: \(p=0{,}01\), \(q=0{,}99\), albo równoważny poprawny istotny krok **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; 2. Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych; I. Sprawność rachunkowa. **Wymagania szczegółowe:** XII.R2) Zdający stosuje schemat Bernoulliego.

\[P=\frac{123841}{4^{15}}=\frac{123841}{1073741824}\approx0{,}00012.\]

W każdym zadaniu prawdopodobieństwo sukcesu wynosi \[p=\frac14,\] a prawdopodobieństwo porażki \[q=\frac34.\] Student zalicza egzamin, gdy uzyska \(11\), \(12\), \(13\), \(14\) albo \(15\) sukcesów. Ze schematu Bernoullego: \[P=\sum_{k=11}^{15}\binom{15}{k}\left(\frac14\right)^k\left(\frac34\right)^{15-k}.\] Wyłączamy \(\left(\frac14\right)^{15}\): \[P=\left(\frac14\right)^{15}\left[\binom{15}{11}3^4+\binom{15}{12}3^3+\binom{15}{13}3^2+\binom{15}{14}3+1\right].\] Zatem \[P=\left(\frac14\right)^{15}(1365\cdot81+455\cdot27+105\cdot9+15\cdot3+1),\] \[P=\frac{123841}{4^{15}}\approx0{,}00012.\]

**4 pkt** – poprawna metoda i wynik \(\frac{123841}{4^{15}}\) **3 pkt** – poprawne zastosowanie wzoru Bernoullego dla \(k\) sukcesów i addytywności prawdopodobieństwa dla zdarzeń parami rozłącznych **2 pkt** – zapisanie zdarzenia zaliczenia jako sumy zdarzeń odpowiadających \(11\), \(12\), \(13\), \(14\) i \(15\) sukcesom **1 pkt** – obliczenie prawdopodobieństwa sukcesu \(p=\frac14\) i porażki \(q=\frac34\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; 2. Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** XII.R2) Zdający stosuje schemat Bernoullego.

\[P(A)\approx0{,}97.\]

Traktujemy wystąpienie awarii danego dnia jako sukces w schemacie Bernoullego. Mamy \[n=7,\qquad p=\frac1{10},\qquad q=\frac9{10}.\] Zdarzenie \(A\) oznacza wystąpienie awarii w co najwyżej dwóch dniach, więc \[P(A)=P(S_0)+P(S_1)+P(S_2).\] Zatem \[P(A)=\binom70\left(\frac1{10}\right)^0\left(\frac9{10}\right)^7+\binom71\left(\frac1{10}\right)^1\left(\frac9{10}\right)^6+\binom72\left(\frac1{10}\right)^2\left(\frac9{10}\right)^5.\] Po obliczeniu: \[P(A)=0{,}9743085\approx0{,}97.\]

**3 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik po zaokrągleniu: \(0{,}97\) **2 pkt** – poprawne zastosowanie schematu Bernoullego i zapisanie sumy prawdopodobieństw dla \(k=0,1,2\) **1 pkt** – ustalenie \(n=7\), \(k\leq2\), \(p=\frac1{10}\), \(q=\frac9{10}\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; 2. Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** XII.R2) Zdający stosuje schemat Bernoullego.

Pan Nowak musi rozegrać co najmniej \(6\) partii.

Prawdopodobieństwo wygranej ojca w jednej partii wynosi \(0{,}4\), a przegranej \(0{,}6\). Dla \(n\) niezależnych partii prawdopodobieństwo, że ojciec nie wygra żadnej, jest równe \((0{,}6)^n\). Zatem \[1-(0{,}6)^n>0{,}95,\] czyli \[(0{,}6)^n<0{,}05.\] Ponieważ \((0{,}6)^5=0{,}07776>0{,}05\), natomiast \((0{,}6)^6=0{,}046656<0{,}05\), najmniejszą możliwą liczbą partii jest \(n=6\).

**4 pkt** – rozwiązanie nierówności \(1-(0{,}6)^n>0{,}95\) i odpowiedź \(n\ge6\) **3 pkt** – zastosowanie schematu Bernoulliego i zapisanie tej nierówności **2 pkt** – zapisanie \(1-P(S_n^0)>0{,}95\) **1 pkt** – obliczenie prawdopodobieństw sukcesu \(0{,}4\) i porażki \(0{,}6\) **0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III.2 dobieranie i tworzenie modeli matematycznych dla problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** XII.2R stosowanie schematu Bernoulliego.

\[P=\frac1{64}.\]

W pojedynczej partii prawdopodobieństwo wygranej Tomka wynosi \[p=\frac14,\] a prawdopodobieństwo niewygrania \[q=\frac34.\] Tomek ma wygrać dokładnie cztery albo dokładnie pięć partii. Korzystamy ze schematu Bernoullego: \[P=\binom54\left(\frac14\right)^4\left(\frac34\right)+\binom55\left(\frac14\right)^5.\] Zatem \[P=5\cdot\frac1{256}\cdot\frac34+\frac1{1024}=\frac{15}{1024}+\frac1{1024}=\frac{16}{1024}=\frac1{64}.\]

**3 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i wynik \(\frac1{64}\) **2 pkt** – zapisanie poprawnego prawdopodobieństwa uzyskania co najmniej czterech sukcesów w pięciu próbach Bernoullego **1 pkt** – zapisanie \(p=\frac14\), \(q=\frac34\), albo wyrażenia \(p^5+5p^4q\), albo poprawnego fragmentu drzewa **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; 2. Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** XII.R2) Zdający stosuje schemat Bernoullego.

\[P(A)\approx0{,}68.\]

Kontrolę jednej torebki traktujemy jako próbę Bernoulliego. Sukcesem jest torebka z niedowagą, więc \(p=0{,}1\), a \(q=0{,}9\). Zdarzenie \(A\) oznacza uzyskanie \(0\), \(1\) albo \(2\) sukcesów w \(20\) próbach. Zatem \[P(A)=\binom{20}{0}(0{,}1)^0(0{,}9)^{20}+\binom{20}{1}(0{,}1)^1(0{,}9)^{19}+\binom{20}{2}(0{,}1)^2(0{,}9)^{18}.\] Po wyłączeniu wspólnego czynnika: \[P(A)=(0{,}9)^{18}\left((0{,}9)^2+20\cdot0{,}1\cdot0{,}9+190\cdot0{,}01\right)=(0{,}9)^{18}\cdot4{,}51\approx0{,}68.\]

**3 pkt** – poprawna metoda i wynik \(P(A)\approx0{,}68\) **2 pkt** – poprawne zastosowanie schematu Bernoulliego i zapisanie sumy prawdopodobieństw dla \(k=0,1,2\) **1 pkt** – określenie sukcesu i porażki oraz prawdopodobieństw \(p=0{,}1\), \(q=0{,}9\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** I i III sprawność rachunkowa oraz dobieranie i tworzenie modeli matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** XII.R2 stosowanie schematu Bernoulliego.

a) \(P=0{,}9^{19}\cdot2{,}9\approx0{,}406\) przy przybliżeniu \(0{,}9^{19}\approx0{,}14\). b) \(P=\frac{90}{210}=\frac37\).

**a)** Żarówki działają niezależnie od siebie, a dla każdej prawdopodobieństwo przepalenia się w ciągu \(300\) godzin wynosi \(q=1-0{,}9=0{,}1\). Mamy więc \(20\) prób Bernoulliego o prawdopodobieństwie sukcesu (przepalenia) równym \(q\). Zdarzenie „przepali się co najwyżej jedna żarówka" to suma rozłącznych zdarzeń: nie przepali się żadna albo przepali się dokładnie jedna. Zatem \[P=\binom{20}{0}\cdot q^{0}\cdot0{,}9^{20}+\binom{20}{1}\cdot q^{1}\cdot0{,}9^{19}=0{,}9^{20}+20\cdot0{,}1\cdot0{,}9^{19}.\] Wyłączamy \(0{,}9^{19}\) przed nawias: \[P=0{,}9^{19}\cdot\left(0{,}9+2\right)=0{,}9^{19}\cdot2{,}9.\] Korzystając z podanego przybliżenia \(0{,}9^{19}\approx0{,}14\), otrzymujemy \[P\approx0{,}14\cdot2{,}9=0{,}406.\] **b)** Wybieramy cztery łańcuchy spośród dziesięciu, a kolejność nie ma znaczenia, więc \[|\Omega|=\binom{10}{4}=210.\] Dwa łańcuchy krótkie spośród sześciu wybieramy na \(\binom{6}{2}=15\) sposobów, a dwa długie spośród czterech na \(\binom{4}{2}=6\) sposobów, zatem \[|A|=15\cdot6=90,\qquad P(A)=\frac{90}{210}=\frac37.\] **Odpowiedź.** a) \(P\approx0{,}406\); b) \(P(A)=\frac37\)

**1. (1 pkt)** – Wyznaczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych: \(\Omega=\binom{10}{4}\) **2. (1 pkt)** – Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających wyborowi dwóch łańcuchów krótkich i dwóch łańcuchów długich: \(A=\binom{4}{2}\binom{6}{2}\) **3. (1 pkt)** – Obliczenie prawdopodobieństwa: \(P(A)=\frac{3}{7}\)

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\[P=\frac{26}{7776}=\frac{13}{3888}.\]

W pojedynczym rzucie prawdopodobieństwo wyrzucenia jedynki jest równe \(\frac16\), a prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego \(\frac56\). Kolejne rzuty są niezależne, więc liczba jedynek w pięciu rzutach ma rozkład dwumianowy. Zdarzenie „jedynka wypadnie co najmniej cztery razy" jest sumą dwóch zdarzeń rozłącznych: dokładnie cztery jedynki oraz dokładnie pięć jedynek. Zatem \[P=\binom54\left(\frac16\right)^{4}\cdot\frac56+\left(\frac16\right)^{5}=\frac{25}{7776}+\frac1{7776}=\frac{26}{7776}=\frac{13}{3888}.\] **Odpowiedź.** \(P=\frac{13}{3888}\approx0{,}0033\)

**22. (1 pkt)** – zapisanie prawdopodobieństwa szukanego zdarzenia w postaci: \(P_{5}(k\ge 4)=P_{5}(k=4)+P_{5}(k=5)\). **23. (1 pkt)** – wykorzystanie wzorów i zapisanie prawdopodobieństwa szukanego zdarzenia w postaci: \(P_{5}(k\ge 4)=\binom{5}{4}\cdot\left(\frac{1}{6}\right)^{4}\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^{1}+\binom{5}{5}\cdot\left(\frac{1}{6}\right)^{5}\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^{0}\). **24. (1 pkt)** – poprawne obliczenie prawdopodobieństwa szukanego zdarzenia: \(P_{5}(k\ge 4)=\frac{25}{7776}+\frac{1}{7776}=\frac{26}{7776}=\frac{13}{3888}\approx 0{,}00334\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.