Rachunek prawdopodobieństwa
Zadanie 1, czerwiec 2025, poziom rozszerzony
Sklep AGD prowadzi sprzedaż wysyłkową pralek. Prawdopodobieństwo uszkodzenia podczas transportu pralki wysłanej przez ten sklep do klienta jest równe \(0{,}02\).
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że spośród \(10\) pralek wysłanych dziesięciu klientom przez ten sklep co najwyżej jedna ulegnie uszkodzeniu podczas transportu. Wynik zapisz w postaci ułamka dziesiętnego w zaokrągleniu do części tysięcznych. Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
\[P(A)=0{,}98^{10}+\binom{10}{1}\cdot0{,}02\cdot0{,}98^{9}=0{,}983822\ldots\] Po zaokrągleniu do części tysięcznych: \(P(A)=0{,}984\).
Rozwiązanie krok po kroku
Przykładowe pełne rozwiązanie
Sukcesem w pojedynczej próbie Bernoullego jest uszkodzenie pralki podczas transportu.
Określamy prawdopodobieństwo sukcesu (p) i porażki (q) w pojedynczej próbie Bernoullego:
p = \(0\),\(02\) , q = \(1\) − p = \(0\),\(98\).
Niech Sk oznacza zdarzenie polegające na tym, że wśród dziesięciu wysłanych przez
\(10\)
sklep pralek dokładnie k pralek uległo uszkodzeniu podczas transportu (k ∈ {\(0\), \(1\)}).
Obliczamy prawdopodobieństwo P zdarzenia polegającego na tym, że wśród dziesięciu
wysłanych pralek uszkodzeniu podczas transportu ulegnie co najwyżej jedna:
\(10\) \(10\)
P = P(\(S_{0}\) ) + P(\(S_{1}\) ) = ( ) ⋅ (\(0\),\(02\))\(0\) ⋅ (\(0\),\(98\))\(10\) + ( ) ⋅ (\(0\),\(02\))\(1\) ⋅ (\(0\),\(98\))\(9 =
10\) \(10\) \(0\) \(1\)
= (\(0\),\(98\))\(9\) ⋅ (\(0,98 + 10 ⋅ 0,02\)) = (\(0\),\(98\))\(9 ⋅ 1,18\) ≈ \(0\),\(984\)
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(0{,}984\)
**2 pkt** – zapisanie poprawnego prawdopodobieństwa uzyskania co najwyżej jednego sukcesu w dziesięciu próbach Bernoulliego, np.
\[P=\binom{10}{0}\cdot0{,}98^{10}+\binom{10}{1}\cdot0{,}02^{1}\cdot0{,}98^{9}\]
albo
\[P=0{,}98^{10}+10\cdot0{,}02\cdot0{,}98^{9}\]
**1 pkt** – zapisanie prawdopodobieństwa sukcesu \(p=0{,}02\) i porażki \(q=0{,}98\) w pojedynczej próbie, ALBO zapisanie prawdopodobieństwa w postaci \(q^{10}+10p\cdot q^{9}\), ALBO przedstawienie fragmentu drzewa zawierającego wszystkie istotne gałęzie
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
Wymagania określone w podstawie programowej1
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych.
I. Sprawność rachunkowa.
**Wymagania szczegółowe:**
XII.R2) Zdający stosuje schemat Bernoullego.
