Procenty i oprocentowanie
Zadanie 30, zbiór zadań z informatora 2023, poziom rozszerzony
Pewna choroba dotyka \(0{,}2\%\) całej populacji i w początkowym stadium nie daje widocznych objawów. Stosowany test przesiewowy daje wynik pozytywny albo negatywny. Prawdopodobieństwo, że test wykonany na osobie chorej da wynik pozytywny, jest równe \(0{,}99\). Prawdopodobieństwo, że test wykonany na osobie zdrowej da wynik negatywny, jest równe \(0{,}98\). Pan X poddał się testowi, który dał wynik pozytywny.
**Oblicz prawdopodobieństwo tego, że Pan X jest rzeczywiście chory.**
Odpowiedź
\[P(C\mid +)=\frac{0{,}99\cdot0{,}002}{0{,}99\cdot0{,}002+0{,}02\cdot0{,}998}\approx0{,}09.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy przez \(C\) zdarzenie ąosoba jest chora”, przez \(Z\) zdarzenie ąosoba jest zdrowa”, a przez \(+\) dodatni wynik testu. Z danych:
\[P(C)=0{,}002,\qquad P(Z)=0{,}998,\]
\[P(+\mid C)=0{,}99,\qquad P(+\mid Z)=1-0{,}98=0{,}02.\]
Ze wzoru Bayesa
\[P(C\mid +)=\frac{P(+\mid C)P(C)}{P(+\mid C)P(C)+P(+\mid Z)P(Z)}.\]
Po podstawieniu:
\[P(C\mid +)=\frac{0{,}99\cdot0{,}002}{0{,}99\cdot0{,}002+0{,}02\cdot0{,}998}\approx0{,}09008.\]
Zatem szukane prawdopodobieństwo wynosi około \(0{,}09\), czyli około \(9\%\).
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – poprawna metoda i wynik około \(0{,}09\)
**2 pkt** – poprawne zastosowanie wzoru Bayesa
**1 pkt** – obliczenie prawdopodobieństw dopełniających \(P(-\mid C)=0{,}01\) i \(P(+\mid Z)=0{,}02\)
**0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III.1 stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi.
**Wymagania szczegółowe:**
XII.1R stosowanie wzoru Bayesa.
