Geometria analityczna
Zadanie 16, próbna styczeń 2003, poziom rozszerzony
Rzucamy pięć razy symetryczną kostką sześcienną. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, polegającego na tym, że „jedynka” wypadnie co najmniej cztery razy.
Odpowiedź
\[P=\frac{26}{7776}=\frac{13}{3888}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
W pojedynczym rzucie prawdopodobieństwo wyrzucenia jedynki jest równe \(\frac16\), a prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego \(\frac56\). Kolejne rzuty są niezależne, więc liczba jedynek w pięciu rzutach ma rozkład dwumianowy.
Zdarzenie „jedynka wypadnie co najmniej cztery razy" jest sumą dwóch zdarzeń rozłącznych: dokładnie cztery jedynki oraz dokładnie pięć jedynek. Zatem
\[P=\binom54\left(\frac16\right)^{4}\cdot\frac56+\left(\frac16\right)^{5}=\frac{25}{7776}+\frac1{7776}=\frac{26}{7776}=\frac{13}{3888}.\]
**Odpowiedź.** \(P=\frac{13}{3888}\approx0{,}0033\)
Klucz i zasady oceniania
**22. (1 pkt)** – zapisanie prawdopodobieństwa szukanego zdarzenia w postaci: \(P_{5}(k\ge 4)=P_{5}(k=4)+P_{5}(k=5)\).
**23. (1 pkt)** – wykorzystanie wzorów i zapisanie prawdopodobieństwa szukanego zdarzenia w postaci: \(P_{5}(k\ge 4)=\binom{5}{4}\cdot\left(\frac{1}{6}\right)^{4}\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^{1}+\binom{5}{5}\cdot\left(\frac{1}{6}\right)^{5}\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^{0}\).
**24. (1 pkt)** – poprawne obliczenie prawdopodobieństwa szukanego zdarzenia: \(P_{5}(k\ge 4)=\frac{25}{7776}+\frac{1}{7776}=\frac{26}{7776}=\frac{13}{3888}\approx 0{,}00334\).
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
