Równania i nierówności
Zadanie 17, próbna styczeń 2003, poziom rozszerzony
W układzie współrzędnych są dane punkty: \(A(-9,-2)\) oraz \(B(4,2)\). Wyznacz współrzędne punktu \(C\), leżącego na osi \(OY\), tak że kąt \(ACB\) jest kątem prostym.
Odpowiedź
\(C=(0,2\sqrt{10})\) lub \(C=(0,-2\sqrt{10})\).
Rozwiązanie krok po kroku
Punkt \(C\) leży na osi \(OY\), więc \(C=(0,y)\).
Kąt \(ACB\) jest prosty dokładnie wtedy, gdy wektory \(\vec{CA}\) i \(\vec{CB}\)
są prostopadłe, czyli gdy ich iloczyn skalarny jest równy zeru:
\[\vec{CA}=[-9-0,\,-2-y]=[-9,\,-2-y],\qquad \vec{CB}=[4-0,\,2-y]=[4,\,2-y].\]
\[\vec{CA}\circ\vec{CB}=-36+(-2-y)(2-y)=-36+\left(y^2-4\right)=y^2-40.\]
Warunek \(y^2-40=0\) daje \(y=2\sqrt{10}\) lub \(y=-2\sqrt{10}\).
**Odpowiedź.** \(C=(0,2\sqrt{10})\) albo \(C=(0,-2\sqrt{10})\).
Klucz i zasady oceniania
**27. (1 pkt)** – obliczenie współrzędnych wektora \(\overrightarrow{CB}=[4,\,2-y]\).
**28. (1 pkt)** – obliczenie iloczynu skalarnego wektorów \(CA\) i \(CB\): \(-36-(2-y)\cdot(2+y)\).
**29. (1 pkt)** – rozwiązanie równania (1) i zapisanie odpowiedzi: Istnieją dwa takie punkty: \(C\left(0,\,2\sqrt{10}\right)\) lub \(C\left(0,\,-2\sqrt{10}\right)\).
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
