Liczby rzeczywiste
Zadanie 14, próbna styczeń 2003, poziom rozszerzony
Suma \(n\) początkowych, kolejnych wyrazów ciągu \((a_{n})\), jest obliczana według wzoru \(S_{n}=n^{2}+3n\), \((n\in\mathbb{N}^{+})\). Wyznacz \(a_{n}\). Wykaż, że ciąg \((a_{n})\) jest ciągiem arytmetycznym.
Odpowiedź
\(a_n=2n+2\); różnica \(a_{n+1}-a_n=2\) jest stała, więc ciąg jest arytmetyczny (dowód w rozwiązaniu).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Rozpoznajemy narzędzie. Znamy sumę \(n\) początkowych wyrazów, a szukamy wzoru na pojedynczy wyraz. Służy do tego zależność: suma \(n\) wyrazów minus suma \(n-1\) wyrazów zostawia dokładnie \(n\)-ty wyraz, czyli
\[a_n=S_n-S_{n-1}\qquad\text{dla }n\geqslant 2,\]
a pierwszy wyraz liczymy osobno jako \(a_1=S_1\).
**Krok \(2\).** Liczymy pierwszy wyraz:
\[a_1=S_1=1^2+3\cdot 1=4.\]
**Krok \(3\).** Zapisujemy \(S_{n-1}\), wstawiając \(n-1\) w miejsce \(n\):
\[S_{n-1}=(n-1)^2+3(n-1)=n^2-2n+1+3n-3=n^2+n-2.\]
**Krok \(4\).** Odejmujemy:
\[a_n=S_n-S_{n-1}=\left(n^2+3n\right)-\left(n^2+n-2\right)=n^2+3n-n^2-n+2=2n+2.\]
Wzór ten wyprowadziliśmy dla \(n\geqslant 2\).
**Krok \(5\).** Sprawdzamy, czy działa też dla \(n=1\): \(2\cdot 1+2=4=a_1\) — zgadza się, więc wzór
\[a_n=2n+2\]
obowiązuje dla wszystkich \(n\in\mathbb{N}^{+}\).
**Krok \(6\).** Przechodzimy do dowodu. Ciąg jest arytmetyczny wtedy i tylko wtedy, gdy różnica dwóch dowolnych kolejnych wyrazów jest stała (nie zależy od \(n\)). Zapisujemy więc \(a_{n+1}-a_n\).
**Krok \(7\).** Liczymy \(a_{n+1}\), wstawiając \(n+1\) w miejsce \(n\):
\[a_{n+1}=2(n+1)+2=2n+4.\]
**Krok \(8\).** Odejmujemy:
\[a_{n+1}-a_n=(2n+4)-(2n+2)=2.\]
Otrzymana różnica jest liczbą stałą, niezależną od \(n\), więc ciąg \((a_n)\) jest arytmetyczny o różnicy \(r=2\), co należało wykazać.
**Uwaga.** Najczęstszy błąd to zastosowanie wzoru \(a_n=S_n-S_{n-1}\) już dla \(n=1\) — wtedy pojawia się \(S_0\), które nie jest zdefiniowane. Dlatego wzór wyprowadzamy dla \(n\geqslant 2\), a przypadek \(a_1\) sprawdzamy osobno. W dowodzie arytmetyczności nie wystarczy sprawdzić kilku pierwszych wyrazów — trzeba policzyć różnicę \(a_{n+1}-a_n\) dla dowolnego \(n\) i pokazać, że nie zależy ona od \(n\).
**Odpowiedź.** \(a_n=2n+2\); różnica \(a_{n+1}-a_n=2\) jest stała, więc ciąg jest arytmetyczny (dowód w rozwiązaniu).
Klucz i zasady oceniania
**13. (1 pkt)** – obliczenie \(n\)-tego wyrazu ciągu: \(a_{n}=2n+2\).
**14. (1 pkt)** – zapisanie różnicy dwóch dowolnych, kolejnych wyrazów tego ciągu: \(r=a_{n+1}-a_{n}\).
**15. (1 pkt)** – obliczenie różnicy ciągu i stwierdzenie, że jest to ciąg arytmetyczny.
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
