Inne zagadnienia
Zadanie 3, próbna grudzień 2022, poziom rozszerzony
**Wykaż, że** dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) oraz dla każdej liczby rzeczywistej \(y\), spełniających warunek \(x+y\geq1\), prawdziwa jest nierówność
\[x^3+2xy+y^3\geq x^2+xy(x+y)+y^2.\]
Odpowiedź
Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich \(x,y\in\mathbb R\) spełniających \(x+y\geq1\).
Rozwiązanie krok po kroku
Przenosimy prawą stronę nierówności na lewą i przekształcamy:
\[x^3+y^3-xy(x+y)-x^2+2xy-y^2\geq0.\]
Korzystamy ze wzoru \(x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)\):
\[(x+y)(x^2-xy+y^2)-xy(x+y)-(x-y)^2\geq0,\]
\[(x+y)(x-y)^2-(x-y)^2\geq0,\]
\[(x+y-1)(x-y)^2\geq0.\]
Z założenia \(x+y-1\geq0\), a kwadrat \((x-y)^2\) jest nieujemny. Ich iloczyn jest więc nieujemny, co dowodzi tezy.
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – pełny dowód: sprowadzenie nierówności do postaci \((x+y-1)(x-y)^2\geq0\) i uzasadnienie jej prawdziwości
**2 pkt** – poprawne otrzymanie postaci \((x+y-1)(x-y)^2\geq0\)
**1 pkt** – poprawne częściowe grupowanie z czynnikiem \(x+y\) albo \(x-y\), prowadzące do wymaganej postaci
**0 pkt** – niepoprawne rozumowanie albo brak dowodu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. rozumowanie i argumentacja, w tym przeprowadzanie rozumowań kilkuetapowych.
**Wymagania szczegółowe:**
II.R3 stosowanie wzorów na sumę i różnicę sześcianów oraz przekształcanie wyrażeń algebraicznych.
