Równania i nierówności
Zadanie 5, próbna grudzień 2022, poziom rozszerzony
**Rozwiąż równanie**
\[6\sin x+2\sqrt3\cos x+3\tan x+\sqrt3=0.\]
**Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
\[x=-\frac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{lub}\quad x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi\quad\text{lub}\quad x=-\frac{2\pi}{3}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Dziedzinę określa warunek \(x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi\), gdzie \(k\in\mathbb Z\). Korzystając z \(\sin x=\tan x\cos x\), grupujemy wyrazy:
\[6\tan x\cos x+2\sqrt3\cos x+3\tan x+\sqrt3=0,\]
\[(3\tan x+\sqrt3)(2\cos x+1)=0.\]
Otrzymujemy alternatywę
\[\tan x=-\frac{\sqrt3}{3}\quad\text{lub}\quad\cos x=-\frac12.\]
Stąd
\[x=-\frac{\pi}{6}+k\pi\]
lub
\[x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi\quad\text{lub}\quad x=-\frac{2\pi}{3}+2k\pi,\]
gdzie \(k\in\mathbb Z\). Żadna z tych liczb nie jest wyłączona z dziedziny.
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawna metoda i pełny zbiór rozwiązań
**3 pkt** – rozwiązanie jednego z równań elementarnych \(\tan x=-\frac{\sqrt3}{3}\) albo \(\cos x=-\frac12\)
**2 pkt** – sprowadzenie do alternatywy \(3\tan x+\sqrt3=0\) lub \(2\cos x+1=0\)
**1 pkt** – podanie dziedziny i zapis iloczynowy \((3\tan x+\sqrt3)(2\cos x+1)=0\)
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. stosowanie i tworzenie strategii w sytuacjach nietypowych.
**Wymagania szczegółowe:**
VII.R6 rozwiązywanie równań trygonometrycznych.
