Granice i pochodne
Zadanie 2, maj 2024, poziom rozszerzony
Oblicz granicę
\[\lim_{x\to2^-}\frac{x^3-8}{(x-2)^2}.\]
Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
\[-\infty.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Korzystamy ze wzoru na różnicę sześcianów. Dla \(x\neq2\) mamy
\[\frac{x^3-8}{(x-2)^2}=\frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{(x-2)^2}=\frac{x^2+2x+4}{x-2}.\]
Gdy \(x\to2^-\), licznik dąży do \(12>0\), a mianownik do zera od strony ujemnej. Zatem
\[\lim_{x\to2^-}\frac{x^3-8}{(x-2)^2}=-\infty.\]
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – poprawna metoda obliczenia granicy oraz poprawny wynik: \(-\infty\)
**1 pkt** – zapisanie wyrażenia w postaci \(\frac{x^2+2x+4}{x-2}\) albo poprawne zastosowanie reguły de l'Hospitala
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; 1. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
XIII.R1) Zdający oblicza granice funkcji, w tym granice jednostronne.
